19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.

Определение. Случайный вектор называетсядискретным, если множество его возможных значений конечно или счетно:

или ,

где .

Из определения следует, что случайный вектор является дискретным тогда и только тогда, когда все его координаты , являются дискретными случайными величинами.

Рассмотрим более подробно случай двумерного дискретного случайного вектора , принимающего конечное число значений (случай счетного числа значений рассмотреть самостоятельно). Для полной вероятностной характеристики такого дискретного случайного векторадостаточно указать все его возможные значенияи вероятности, с которыми эти значения принимаются,(предполагается, что случайная величинапринимаетзначений, а случайная величинапринимаетзначений, так что у векторавозможных значений).

Как и в одномерном случае, подобную информацию о дискретном случайном векторе записывают в виде таблицы, но с двумя входами:

			…		(3.2)
			…
			…
			…

которую называют законом распределения дискретного случайного вектора (двумерным дискретным законом распределения или совместным законом распределения дискретных случайных величин и ).

При этом, поскольку события , , образуют полную группу событий, то вероятностиудовлетворяютусловию нормировки:

.

По двумерному закону распределения вероятность попадания дискретного случайного вектора в любое борелевское множествоопределяется по формуле:

.

В частности, при получается следующее выражение для функции распределениядискретного случайного вектора:

.

(сравнить с одномерным случаем, когда ).

График функции распределения дискретного случайного вектораявляется кусочно-постоянным со скачками в точках, являющихся его возможными значениями, величина которых определяется вероятностями.

Одномерные законы распределения каждой из случайных величин ив отдельности (маргинальные законы распределения) дискретного случайного вектораявляются дискретными и находятся по двумерному закону распределения следующим образом:

Так как событие , то в силу аддитивности вероятности

. (3.3)

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

где в соответствии с (3.3) вероятность получаетсясуммированием в -ой строкетаблицы (3.2) вероятностей ,.

Аналогично, вероятности

(3.4)

и поэтому закон распределения случайной величины имеет вид:

где в соответствии с (3.4) вероятность получаетсясуммированием в -ом столбце таблицы (3.2) вероятностей ,.

Многомерный случай дискретного случайного вектора полностью аналогичен двумерному, только менее нагляден и имеет громоздкую индексацию. Так, закон распределенияn-мерного дискретного случайного вектора определяется набором вероятностей, где- значения координаты,,.