4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.

-алгебра событий

Определение. Пустьпроизвольное множество. Классподмножеств множества(не обязательно всех) называется-алгеброй событий или-алгеброй подмножеств, если выполнены следующие свойства:

А1) (-алгебра событий содержит достоверное событие);

А2) если , то(вместе с любым событием-алгебра содержит противоположное событие);

А3) если , то(вместе с любым конечным или счетным набором событий-алгебра содержит их сумму).

Свойства А1) – А3) часто называют аксиомами -алгебры.

Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости класса подмножеств и относительно других операций над событиями.

1. (-алгебра событий содержит невозможное событие).

2. При выполнении А1) и А2) свойство А3) эквивалентно свойству А4):

А4) если , то (вместе с любым конечным или счетным набором событий -алгебра содержит их произведение).

3. Если , то .

Пример. Пусть - конечное пространство элементарных событий. Следующие классы подмножествявляются-алгебрами:

1. - тривиальная-алгебра.

2. , где А – произвольное подмножество.

3. - множество всех подмножеств(доказать, что при этом число всех подмножеств вравно).

Определим теперь вероятность как функцию, определенную на множестве событий (то есть функцию, которая каждому событию ставит в соответствие число), а точнее как неотрицательную нормированную меру, заданную на -алгебре событий.

Вероятность как нормированная мера

Определение. Пара, в которой- некоторое множество, а--алгебра его подмножеств называетсяизмеримым пространством.

Определение. Пусть- некоторое множество,--алгебра его подмножеств. Функцияназываетсямеройна измеримом пространстве, если она удовлетворяет условиям:

М1) Для любого множества его мера неотрицательна:.

М2) Для любого счетного набора попарно непересекающихся множеств (то есть такого, что) мера их объединения равна сумме их мер:(счетная аддитивностьили-аддитивность).

Другими словами, мера есть неотрицательная счетно-аддитивная функция множеств.

Определение.Пусть- некоторое множество и--алгебра его подмножеств. Мераназываетсянормированной, если.

Определение.Пусть- произвольное пространство элементарных событий и--алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью или вероятностной мерой наназывается функция, удовлетворяющая следующим аксиомам:

Р1). Аксиома неотрицательности:

Для любого события выполняется неравенство:;

Р2). Аксиома нормированности:

Вероятность достоверного события равна единице: .

Р3). Аксиома счетной аддитивности:

Для любой счетного набора попарно несовместных событий имеет место равенство:.

Определение. Тройка, в которой- пространство элементарных событий,--алгебра событий и- вероятностная мера наназываетсявероятностным пространством.

Теорема(доказательство см. Б.В. Гнеденко, Курс теории вероятностей).

Аксиома счетной аддитивности Р3) эквивалентна выполнению следующих двух аксиом Р3^*) и Р4):

Р3^*).Аксиома конечной аддитивности:

Для любого конечного набора событий , являющихся попарно несовместными, имеет место равенство:.

Р4). Аксиома непрерывности:

Если события обладают свойствами:

1. ;

2. ,

(при этом говорят, что события образуют убывающую последовательность), то .

Из аксиоматического определения вероятности вытекают следующие свойства вероятности (здесь и везде в дальнейшем под знаком вероятности появляются только события!).

1°. .

2°. .

3°. .

4°. .

(Свойства 1 – 4 были доказаны при рассмотрении классического определения вероятности сразу в общем случае).

5°. Теорема сложения вероятностей.

Для любых событий (не обязательно несовместных)

.

▲ Представим событие Вв виде:

.

Поскольку события являются несовместными, то по аксиоме аддитивности Р3)

. (1)

Представим событие в виде:

.

Поскольку события являются несовместными, то по аксиоме Р3)

. (2)

Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем

. ■

6°. Если события образуют полную группу событий, то

.

▲ Свойство следует из определения полной группы событий и аксиом Р2) и Р3). ■

7°. .

▲ Представим событие Ав виде:

.

Поскольку события являются несовместными, то по аксиоме аддитивности Р3)

. ■