- •1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.
- •Свойства операций над событиями
- •2. Классическое определение вероятности. Урновая схема. Пример.
- •3. Геометрическое определение вероятности. Пример.
- •4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
- •5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.
- •6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •9. Понятие случайной величины (св). Функция распределения св и ее свойства.
- •10. Дискретные св. Закон распределения дискретной св.
- •11. Важнейшие дискретные св.
- •12. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.
- •13. Важнейшие непрерывные св.
- •14. Математическое ожидание (мо) дискретных и непрерывных св.
- •15. Основная теорема о мо. Свойства мо.
- •16. Моменты высших порядков. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Свойства дисперсии.
- •17. Числовые характеристики важнейших св.
- •18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
- •19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.
- •20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
- •21.Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.
- •22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.
- •23.Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.
- •24.Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.
- •25. Теоремы о числовых характеристиках.
- •26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
- •27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
- •28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
- •29. Функции от св и их законы распределения. Функции случайных аргументов
- •Функции от случайных величин
- •Функции от случайных векторов
- •30. Закон распределения суммы св. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
- •31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.
- •Неравенство Чебышева
- •Виды сходимости последовательностей случайных величин и связь между ними
- •32. Закон больших чисел (збч) для последовательностей св. Теоремы Маркова и Чебышева.
- •33. Збч для последовательностей независимых одинаково распределенных св. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.
- •34. Характеристическая функция св и ее свойства.
- •Свойства характеристических функций
- •35.Характеристические функции важнейших св. Устойчивость нормального закона распределения.
- •Характеристические функции случайных векторов
- •36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
- •37.Центральная предельная теорема (цпт) для независимых одинаково распределенных св. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •38.Цпт для независимых разнораспределенных св: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.
- •39. Теорема Хинчина. Понятие об усиленном збч.
- •40. Статистическая модель. Генеральная совокупность (гс), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
- •41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •42. Гистограмма и полигон частот.
- •43.Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
- •44.Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
- •Точечные оценки. Методы нахождения точечных оценок.
- •45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок мо и дисперсии соответственно.
- •46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример. Метод моментов.
- •47. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.
- •48. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений. Доверительные интервалы (ди) для мо нормально распределенной гс (при известной и неизвестной дисперсии).
- •49. Ди для дисперсии нормально распределенной гс (при известном и неизвестном мо).
- •50. Асимптотические ди для мо и дисперсии произвольно распределенной гс.
- •51. Статистические гипотезы. Критерии согласия и их характеристики.
- •52. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.
- •53. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения.
Характеристические функции случайных векторов
Характеристической функцией случайного вектора называется комплекснозначная функциявещественных переменных, определяемая для любогоравенством:
или в векторной форме ,
где означает скалярное произведение векторов.
Характеристическая функция случайного вектора обладает всеми свойствами (с очевидными изменениями в формулировках) одномерной характеристической функции. Но есть и дополнительные полезные свойства.
По характеристической функции случайного вектораможно найти характеристическую функцию любой группы изего координат. Для этого следует положить аргументыпри.
Так, например, характеристическая функция «отрезка» случайного вектораравна,
а характеристическая функция любой координаты вектораравна
.
Если - характеристическая функция случайного вектора, то характеристическая функция суммы его координатравна,
то есть следует положить все .
Задача 1. Найти характеристическую функцию двумерного нормального случайного вектора .
Ответ: .
Задача 2. Найти характеристическую функцию суммы двумерного нормального случайного вектора и по ней определить закон распределения случайной величины.
Ответ: .
Задача 3. Найти характеристическую функцию многомерного нормального случайного вектора .
Ответ: .
36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
Ранее были введены три вида сходимости последовательностей случайных величин: по вероятности, почти наверное и в среднем. Еще один вид сходимости основан на близости законов распределения случайных величин, то есть на сходимости последовательности их функций распределения.
Пусть заданы последовательность случайных величин , имеющих функции распределения, и случайная величинас функцией распределения. Было бы естественно считать, что, если случайная величина, то ее закон распределения сходится прик закону распределения случайной величины. Однако, требовать при этом равномерную сходимостьк(то есть, чтобы) в общем случае неразумно, поскольку она никогда не будет иметь места, если функция распределения случайной величиныимеет хотя бы один разрыв. Поэтому сходимость последовательности функций распределенияк функции распределенияпонимают в смысле следующего определения.
Определение. Говорят, что последовательность функций распределения слабо сходится к функции распределения и обозначают, если
в каждой точке , где предельная функция распределенияявляется непрерывной.
При этом также говорят, что последовательность случайных величин слабо (или по распределению) сходится к случайной величине и записывают(или) или, что последовательность случайных величинслабо сходится к распределению и обозначают.
Смысл слабой сходимости: это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.
Выделим важный частный случай, когда предельная функция распределения является непрерывной для любого. При этом, еслидля любогои, более того, в силу монотонности и ограниченности функций распределения сходимость являетсяравномерной по :(подробнее см. учебник Чистякова В.П. «Курс теории вероятностей»).
Замечание. Отметим, что запись не совсем корректна: если предельную случайную величинузаменить на любую другую случайную величинус тем же законом распределения, то ничего не изменится, в том же смысле и. Поэтому слабая сходимость все же не есть сходимость последовательности случайных величин и ей нельзя пользоваться как сходимостями по вероятности, почти наверное и в среднем, для которых предельная случайная величина единственна (хотя бы с точностью до значений на множестве нулевой вероятности). По этой причине слабая сходимость и рассматривается отдельно.
Следующее утверждение устанавливает соотношение между слабой сходимостью и сходимостью по вероятности.
Лемма.
1. Из сходимости по вероятности следует слабая сходимость: если , то.
2. Если предельное распределение является вырожденным, то сходимость по вероятности и слабая сходимость эквивалентны: если , то.
▲ 1. Пусть - точка непрерывности функции распределения. Требуется доказать, что тогда. Зафиксируемтакое, чтонепрерывна в точках.
Функцию распределения можно записать в виде:
.
Оценим вероятность сверху и снизу. Для вероятностиимеем:
и вероятность справа может быть выбором сделана сколь угодно малой, поскольку.
Для вероятности , с одной стороны,
(так как, если , то тем более).
С другой стороны,
(здесь первое неравенство очевидно, а второе следует из того, что ).
Таким образом, получаем для следующее двойное неравенство:
.
Устремляя теперь , получаем,
а предельный переход при с учетом того, что- точка непрерывности, дает.
2. Пусть для любого, являющегося точкой непрерывности предельной функции распределения, то есть при всех.
Докажем, что при этом для любого.
Раскроем модуль под знаком вероятности и выполним ряд преобразований:
,
поскольку в точках ифункция распределениянепрерывна. Окончательно, сходимостьследует из леммы о двух милиционерах ■.
Замечательный факт состоит в том, что слабая сходимость распределений полностью характеризуется с помощью характеристических функций.
Теорема непрерывности (без доказательства).
Пусть - последовательность характеристических функций, а- последовательность соответствующих функций распределений. Для слабой сходимостинеобходимо и достаточно, чтобыдля любого, где- характеристическая функция, соответствующая предельной функции распределения.
Теорема непрерывности устанавливает, что соответствие между функциями распределения и характеристическими функциями является не только взаимнооднозначным (в соответствии с теоремой единственности), но и непрерывным в том смысле, что пределу в классе функций распределения относительно слабой сходимости соответствует предел в классе характеристических функций относительно поточечной сходимости.
Теорема непрерывности является основным средством доказательства центральных предельных теорем (теорем о слабой сходимости распределений на числовой прямой).