1.Множества (пустое, универсальное, упорядоченное). Счетное множество. Примеры счетных и несчетных множеств.
Под множеством понимается любая совокупность объектов, называемая элементами множества.
Пустое
множество
— множество, не содержащее ни одного
элемента(
).
Универсальное множество — множество, содержащее все мыслимые объекты.
Упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.
A
B
– A
содержится в B,
а это значит что A
подмножество множества B.
Множества А и В равны (A=B), если A B и B A.
Основные способы задания множеств.
а)
А=
- перечисление всех элементов.
б)
А={
- множество А определяется как совокупность
тех и только тех элементов из некоторого
множества Т, которые обладают общим
свойством
.
означает,
что элемент x
обладает свойством
.
счётное мно́жество- это бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.
Счётные множества(примеры): натуральные числа, целые числа, рациональные числа, алгебраические числа, простые числа, целочисленные координаты декартовой плоскости.
Несчётное мно́жество- это бесконечное множество, элементы которого невозможно пронумеровать натуральными числами.
Несчётные множества(примеры): вещественные числа ,комплексные числа, числа Кэли.
Ко́мпле́ксныечи́сла — расширение множества вещественных чисел С . Каждое комплексное число z представляет собой сумму x + iy, где x и y вещественные, а i это так называемая мнимая единица, являющейся корнем уравнения i2 = − 1
2. Операции над множествами. Булева алгебра. Бинарные отношения и бинарные операции.
Объединением А и В называется:
Пересечением множеств А и В называется:
Разность множеств А и В:
Произведением
2х множеств называется совокупность
упорядоченных пар где
,
а
.
Если
А подмножество некоторого универсального
множества Т, то разность обозначается
Т\А=
и называется дополнением множества А
до множества В.
Булева алгебра.
Если
для элементов множества G={A,B,C,…}
определены операции объединения и
пересечения, для которых выполняются
эти свойства(10 штук), то такая тройка
(G,
)
называется булевой алгеброй.
Пусть A,B,D-произвольные подмножества множества J, тогда:
А,B,DcJтогда:
-замкнутость
операций объединения и пересечения.
-коммутативность
опер об и пер.
-
ассоциативность
-
дистрибутивность операций объединения
относительно пересечения( и наоборот)
бинарным отношением называется подмножество декартова произведения двух множеств. В частности, бинарным отношением на множестве называется множество упорядоченных пар элементов этого множества.
Бинарные отношения называются отношениями эквивалентности в мн. Е, если ЕᴐR:
Рефлексивно (a,a)ЄR aЄE;
Симметрично ((a,b)ЄR)=>(b,c) ЄR;
Транзитивно (a,b) ЄR ᴧ(b,c) ЄR => (a,c) ЄR
Бинарное отношение Ω называется отношением порядка, если оно Рефлексивно, транзитивно, антисимметрично. Ω упорядочивает мн. Е.
Бинарная операция — математическая операция, принимающая два аргумента и возвращающая один результат.
f: ExE=>E (внутренняя операция)
f: ExF=>E (внешняя операция);
Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на поле вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.