Теорема Больцано - Вейерштрасса.
Теорема:Теорема Больцано– Вейерштрасса.из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
е
сли
xn+1>xn;∀n
- {xn}
возрастающаяесли xn+1≥xn;∀n - {xn} неубывающая строгомонотонные
если xn+1<xn;∀n - {xn} убывающая
если xn+1≤xn;∀n - {xn} невозрастающая
такие последовательности называются монотонными.
Теорема: монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Доказательство: рассмотрим последовательность монотонную неубывающую.
x1<=x2<=x3<=…<=xn<=xn+1<=xn<=M
если ⩝ ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань, то
⩝
>0
где
а-
некоторая верхняя грань.
Т.к. {Хn} неубывающая то при N>n :a– ;xN>=xn
xn>a-
|=>
a-
<xn<a+
|=> |xn-a|<
|=>
.
Аналогично для остальных монотонных функций. ЧТД.
Число е, как предел последовательности. Связь натурального и десятичного логарифмов.
Если последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет конечный предел. По формуле бинома Ньютона
Дальше выписываем xn+1.
Каждое слагаемое у xn+1больше соответствующего слагаемого xn
Очевидно что xn+1>xnзначит она возрастающая.
Для ∀n xn<3
⇒она монотонно ограниченная и у неё есть предел lim(1+1/n)n=e
Связь натурального и десятичного логарифмов.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства.
Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.
Свойства:
Сумма(разность) 2х БМП тоже будет БМП
Произведение ограниченной последовательности на БМП = БМП
Произведение ∀бесконечного числа на БМП = БМП
∀ БМП ограниченна
Если стационарная последовательность является БМП, то все еёэлементы, начиная с некоторого, =0
Если вся БМП состоит из одинаковых элементов, то все они = 0
Если ББП {xn}, то ∃ и БМП
Если {xn} содержит 0, то может быть определена начиная с некоторого номера, и она все равно будет БМП
Если естьБМП={an}, то ∃и ББП =
,
при условии, что элементы {an}
≠0.
Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы (определения Коши, Гейне). Основные свойства пределов числовых функций.
Коши:
В точке
На ∞
Предполагается что функция определена в окрестности бесконечности.
Гейне:
В точке
если для ∀
последовательностей точек {xn}∞n=1сходящихся
к х0,
но не содержащих х0
в качестве своего элемента будет
выполняться что
На ∞
Пусть f(x) задана на множестве Х и ∀δ>0 найдется элемент ∉[-δ,δ]. Тогда
;
∀{xn}∞n=1
:
Односторонние пределы
Коши:
слева
справа
Г
ейне:
слева
справа
Основные свойства пределов числовых функций
Предел константы = константа
Пусть f(xn) и g(x) имеют конечные пределы, тогда:
предел суммы=сумме пределов
пред произведения = произведению пределов
lim C*f(x)=C*limf(x)
пред частного = частное пределов
если f(x)>0 в близи точки x=aи limx→af(x)=A, то А>0
g(x)≤f(x)≤u(x) вблизи точки х=а и limg(x)=limu(x)=A⇒limf(x)=A
если f(x) имеет конечный предел при x→a то эта f(x)