- •1.Множества (пустое, универсальное, упорядоченное). Счетное множество. Примеры счетных и несчетных множеств.
- •2. Операции над множествами. Булева алгебра. Бинарные отношения и бинарные операции.
- •3.Функция. Отображение. Сюръективное, инъективное, биективное отображения. Суперпозиция отображений. Обратное отображение.
- •4) Комплексные числа. Определение, свойства, алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Модель и аргумент комплексного числа.
- •5) Множество вещественных чисел. Основные характеристики вещественных чисел: и соотношения между ними. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел.
- •6.Теорема о существовании точной верхней/нижней грани.
- •Теорема о единственности точной верхней/нижней грани.
- •Числовая последовательность. Операции над последовательностями. Подпоследовательности. Свойства последовательностей. Предельная точка.
- •Виды последовательностей. Ограниченные, неограниченные, стационарные последовательности. Свойства ограниченных последовательностей.
- •Предел последовательности. Теоремы о единственности предела последовательности.
- •Теорема об ограниченности сходимой последовательности.
- •Теорема Больцано - Вейерштрасса.
- •Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
- •Число е, как предел последовательности. Связь натурального и десятичного логарифмов.
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства.
- •Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы (определения Коши, Гейне). Основные свойства пределов числовых функций.
- •Теорема о пределе ограниченной функции.
- •18)Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
- •19) Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
- •21. Понятие непрерывности в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва.
- •Теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции)
- •23) Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- •24) Критерий непрерывности монотонной функции (Теорема)
- •25. Непрерывность обратной функции. Теорема о существовании обратной функции у монотонной.
- •27. Дифференцирование функции. Производная функции. Определение, геометрический смысл, основные правила дифференцирования. Односторонние производные.
- •Производные основных элементарных функций (вывод).
- •29) Теорема о производной сложной функции.
- •30) Теорема о производной обратной функции.
- •Логарифмическое дифференцирование. Производная показательно-степенной функции.
- •Дифференциал функции, его геометрический смысл и основные свойства.
- •Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала
- •Формула Тейлора (доказательство).
- •Основные теоремы о производных. Теорема Ролля. Теорема Логранжа. Теорема Коши.
- •Теорема (правило) Лопиталя.
- •Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
- •Исследование функции с помощью производной. Теорема о возрастании и убывании функций. Критические точки. Точки экстремума.
- •Теорема (необходимое условие существования экстремума).
- •Теорема (достаточные условия существования экстремума).
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
- •Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. Теорема о существовании максимума/ минимума функции.
- •Выпуклость и вогнутость кривой. Теорема (о знаке второй производной).
- •44. Точки перегиба. Теорема о точке перегиба.
- •49. Интегрирование элементарных дробей.
- •50. Интегрирование рациональных функций.
- •51. Интегрирование тригонометрических функций.
Теорема о пределе ограниченной функции.
Теорема: если f(x) имеет конечный предел при x→aто эта f(x)
Док-во:Пусть limx→af(x)=Aто есть по определению предела
|f(x)-A+A|≤|f(x)-A|+|A|⇒|f(x)|<ε+|A|то есть
|f(x)|<M=ε+|A|⇒по определению ЧТД
18)Бесконечно малые функции и их свойства. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми.
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
Пример: f(x) - бесконечно малая функция если х->0;
F(X) – не бесконечно малая функция если х->1 и т.д;
Теорема {без док-ва}:
Для того, чтобы f(x) при x→a имела предел, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х=a выполнялось , где - бесконечно малая при x->a;
Свойства бесконечно малых функций:
сумма фиксированного числа бесконечно малых функций будет бесконечно малой функцией при x->a;
если взять фиксированное число бесконечно малых функций, то их произведение – тоже бесконечно малая функция;
произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию будет бесконечно малой функцией;
деление бесконечно малой функции на ограниченную с будет бесконечно малой функцией;
Функция y=f(x) называется бесконечно большой если предел функции f(x) при x->a равен плюс-минус бесконечности или же просто бесконечности.
Связь бесконечно малых функций и бесконечно больших функций.
Если f(x)->0 и не обращается в 0, то т.е и наоборот.
19) Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых функций.
Пусть - бесконечно малые функции при x->a; их можно сравнивать по быстроте убывания.
Если то - б.м. более высокого порядка, чем .
Если то и одного порядка малости, если А=1, то и - эквивалентные ( ~ );
Бесконечно малая функция называется порядка малости k относительно , если .
Не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Если или не существуют, то и - несравнимые.
Свойства эквивалентныхб.м.ф.:
функция эквивалентна сама себе;
~ и ~ => ~ ;
~ ; ~ ; ; => ;
~ ; => ~ ;
20. Основные методы отыскания пределов. Замечательные пределы. Вывод.
Qm(x)≠0 в точке а ⇒f(x)=p(x)/Q(x) –непрерывна в точке а и
Qm(x)=0; Pn(x)≠0 в точке а ⇒А=∞
Qm(а)=0; Pn(а)=0⇒
Qm(a)≠0; Pn(a)≠0 ⇒
так ка f(x) непрерывна⇒
⇒
∞ -∞=неопр ∞*0=неопр 1∞=неопр
∞
L
+∞=∞ ∞/∞=неопрЗамечательные пределы:
H
K
А
Вывод:
1)Soна<Sсек<Sola тН- пересечение луча и окружности
Sона=1/2*нк*оа*sinx=(sinx)/2 т К –проекция точки Н на ось Х
S сеч= ½*R2*x=x/2 т А (1,0)
Sola=1/2*La*oa*sinx=(tgx)/2 т L точка пересечения касательной и луча
2) 3)cosx<(sinx)/x<1 ⇒
т.к. х∈(0,п/2)⇒sinx>0 ; tgx>0