21. Понятие непрерывности в точке и на множестве. Свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва.

В ТОЧКЕ

Опр: f(x) определена на множестве Х содержащем окрестность точки х₀ тогда f(x)- непрерывна в точке х₀ если предел в этой точке = значению функции в этой точке.

Опр: непрерывность в точке по Коши

∀ε>0∃δ>0: ∀х ∈Х:|x-x₀| <δ ⇒|f(x)-f(x₀)|<ε

Опр: непрерывность в точке по Гейне

∀Xn,{Xn}→X0,{Xn}⊂X :lim_n→∞f(x)=f(x₀)

Опр: Непрерывность слева и справа по Коши

Справа ∀ε>0∃δ>0: ∀х ∈Х: |x₀<x<x₀+δ|⇒|f(x)-f(x₀)|<ε

Cлева∀ε>0 ∃δ>0: ∀х∈Х: |x₀-δ<x≤x₀ |⇒|f(x)-f(x₀)|<ε

НА МНОЖЕСТВЕ

Опр: функция непрерывна на множестве если она непрерывна в каждой его точке.

СВОЙСТВА :

1. ± или * 2х непрерывных функций в точке = непрерывной

2. сохранение знака f(x)>0⇒∃ О (х₀): f(x)>1/2f(x₀)

3. еслиf(x) и g(x) непрерывны в точке х₀ и g(x)≠0⇒f(x)/g(x)- непрерывна в т х₀

4. если функция непрерывна в точке или на множестве, то модуль этой функции тоже непрерывен

5. суперпозиция 2х непрерывных- тоже непрерывная

f(x) определена в О(х₀) непрерывна в т х₀

g(x) определена в О(t₀) непрерывна в т t₀

Тогда если g(t₀)=x₀, то в некоторой О(t₀) определена суперпозиция F(t)=f(g(t))- непрерывная в точке х₀

22. Теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной функции)

Теорема: Непрерывная на сегменте [a,b] функция ограниченна на этом сегменте

Док-во: функция ограниченна если ∃ М ∀ х ∈[a,b]: |f(x)|≤M

f(x) ограниченна на [a,b]. Функция неограниченна если ∀М ∃ х ∈[a,b]: |f(x)|>M.

Пусть ∀n∃x_n∈[a,b]: |f(x_n)|>n⇒(по теореме Больцано - Веерштрассе)

∃

противоречие ⇒ЧТД

{Xn_k}→x₀ ,x∈[a,b] ⇒|f(Xn_k)|>n_k

|f(Xn_k)|→f(x₀)

23) Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции

Теорема: Если функция f(x) определена на отрезке [a;b] и принимает на концах этого промежутка разные знаки, то найдётся такое число c из интервала (a;b), что f(c)=0.

Доказательство: A=f(a)<0, B=f(b)>0, делим отрезок [an,bn] на два: cn=(an-bn)/2 , получаем: [an;cn] и [cn;bn] ; выбираем тот отрезок, у которого на концах разные знаки и снова делим пополам и так до тех пор пока не получится последовательность вложенных отрезков, стягивающуюся к нулю:

ч.т.д.

24) Критерий непрерывности монотонной функции (Теорема)

Теорема: Для того чтобы монотонная функция f(x) определённая на отрезке [a;b] была непрерывна на этом отрезке, необходимо и достаточно чтобы множество значений функции заполняло целиком отрезок [f(a);f(b)] или [f(b);f(a)].

Лемма(**): Для монотонно возрастающей на отрезке функции, существует

Аналогично существует

Доказательство теоремы (критерия):

1)=> (необходимость) Пусть функция f(x) монотонно взрастает, тогда из

Следствие №2: Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], и m=inf(f(x)), и M=sup(f(x)), тогда множество всех значений этой функции принадлежит отрезку [m;M].

f(x)-непрерывна

m=inf(f(x)) => [m,M] и f(x)-возраст. => [f(a);f(b)] ч.т.д.

M=sup(f(x))

2)<= (достаточность) Предположим противное: Пусть f(x) не непрерывна и разрывна в точке x₀, так как функция монотонна и рассматриваем на отрезке, то разрыв она может иметь только 1 рода =>

В озьмём предел справа: lim(f(x))>f(x) x>x₀f(x)≤f(x₀) x≤x₀

^x→x0+0⇒f(x)≥f(x₀) x≥x₀

Полемме: lim(f(x))=inf(f(x)) x₀ [a;b) f(x0)<lim(f(x))≤f(x) приx>x₀

^{x→x0+0 (x0;b] x→x0+0}

Это означает, что не существует значения между f(x0) и lim(f(x)), но по условию мы должны ^x→x0+0

заполнять весь отрезок => противоречие.

P.S. Для lim(f(x)) аналогично

^x→x0-0

P.S. Для функции f(x) монотонно убывающей меняем f(x) на -f(x) =>ч.т.д.