49. Интегрирование элементарных дробей.

50. Интегрирование рациональных функций.

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов, при этом дробь называется правильной, если степень многочлена Р(х) меньше степени многочлена Q(x). Любая неправильная дробь может быть легко представлена в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби, для чего достаточно поделить Р(х) на Q(x) уголком. Теорема. Пусть правильная рациональная дробь, Р(х) и Q(x) - многочлены с действительными коэффициентами. Если то существуют действительные числа такие, что исходная рациональная дробь может быть представлена в следующем виде По сути Теорема 4 утверждает, что любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы так называемых простейших (или элементарных) дробей вида.

Основные типы элементарных дробей:

.
= делаем обратную замену.

Обозначая через получаем рекуррентное соотношение:

Поскольку , то все следующие интегралы вычисляются по вышеприведенной формуле.

51. Интегрирование тригонометрических функций.

Интегралы вида . При нахождении интегралов от тригонометрических функций применяются следующие подстановки:

t = sin x; t = cosx; t = tg x. Кроме того, существует так называемая универсальная х тригонометрическая замена , которая приводит к рациональной функции от t всегда, поскольку , и тогда Интегралы вида - рациональные числа.