6.Теорема о существовании точной верхней/нижней грани.

Теорема: У любого непустого ограниченного сверху множества существует ТВГ.

Д ок-во: Пусть b – верхняя грань множества E, a E.

а (a+b)/2 b

[a,b] имеет непустое пересечение с множеством Е.

Свойства [a,b]:

1. ⩝x E x<=b

2. E [a,b]

Эти процедуры повторяем много раз и получаем последовательность вложенных отрезков со свойствами: ⩝x Ex<=b_k ;E [a_k,b_k]

Далее доказываем по индукции:

Пусть построен отрезок [a,b] со свойствами 1 и 2. Делим его пополам соответственно [a_k+1,b_k+1] будет правым отрезком со свойствами 1 и 2.

Рассмотрим длины этих отрезков b_k-a_k= . Длины эти стремятся к 0. То есть чем к>тем длина меньше. По этому существует одно единственное число общее для всех этих отрезков. Оно будет ТВГ данного множества ⩝x E:x<=c.

Предположим обратное: пусть x E, x>c =>b_n-c b_n-a_n<x-c |=>b_n<x.

Получили противоречие с условием=>ЧТД

Теорема: У любого непустого ограниченного снизу множества существует ТНГ.

Д ок-во: Пусть a – нижняя грань множества E, a E.

а (a+b)/2 b

[a,b] имеет непустое пересечение с множеством Е.

Свойства [a,b]:

1. ⩝x E x>=a

2. E [a,b]

3. Эти процедуры повторяем много раз и полуаем последовательность вложенных отрезков со свойствами: ⩝x Ex>=a_k ;E [a_k,b_k]

Далее доказываем по индукции:

Пусть построен отрезок [a,b] со свойствами 1 и 2. Делим его пополам соответственно [a_k+1,b_k+1] будет правым отрезком со свойствами 1 и 2.

Рассмотрим длины этих отрезков b_k-a_k= . Длины эти стремятся к 0. То есть чем к> тем длина меньше. Поэтому существует одно единственное число общее для всех этих отрезков. Оно будет ТНГ данного множества ⩝x E :x>=c.

Предположим обратное: пусть x E, x<c⇒b_n-c b_n-a_n<x-c⇒a_n<x.

Получили противоречие с условием=>ЧТД

7. Теорема о единственности точной верхней/нижней грани.

Теорема: точная верхняя грань- единственна.

Док-во:

Пусть у нас есть 2 ТВГ b1и b2 ;b1 <b2.Пусть есть E=b2-b1>0.

По определению ТВГ для b2 ∃x E_x:x>b2-E=b пришли к противоречию ЧТД.

7. Числовая последовательность. Операции над последовательностями. Подпоследовательности. Свойства последовательностей. Предельная точка.

ОПР: Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число то говорят что это задана последовательность. Общий элемент последовательности- это какая-то функция от n.

Операции над последовательностями.

1. Умножение на число m{x_n}={mx_n}=mx₁,mx₂,…,mx_n

2. Сложение и вычитание 2х последовательностей

{x_n}+-{y_n}={x_n-y_n}=x₁+-y₁,x₂+-y­₂,…,x_n+-y_n.

3. Умножение посл. на посл. (так же)

4. Деление посл. на посл. (так же)

Подоследовательность последовательности {Х_n}- это последовательность{Xn_k}, где последовательность {n_k} – это возрастающая последовательность .

Теорема Больцано– Вейерштрасса.из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Предельная точка- это такая точка, окрестность которой содержит бесконечное число элементов данной последовательности.

Свойства

Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.

Для всякой подпоследовательности(Xk_n) верно, что⩝n N :k_n>=n.

Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.

Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.

Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.

Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.