31. Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала

Пусть задана сложная функция y=F(t)=f(g(t)) y=f(x): x=g(t)

dy=(f(g(t)))’dt=f’(x)g’(t)dt=f’(x)dg=f’(x)dx

Свойство инвариантности.

Вид первого дифференциала такой же как и в случае, когда х-независимая переменная.

31. Формула Тейлора (доказательство).

Пусть f(x) в т x=a и в О(а) производные до (n+1) порядка, т.е. все предыдущие производные непрерывны в т а и дифференцируемы в ней. Пусть х-любое значение ≠ а, тогда между т х и т а найдется такая ε что

формула т остаточный член

Док-во:

31. Основные теоремы о производных. Теорема Ролля. Теорема Логранжа. Теорема Коши.

Теорема ролля: о нуле производной.

если f непрерывна на [a,b]и дифференцируема на (a,b)и f(a)=f(b) тогда

∃ х₀∈(a,b): f’(x₀)=0

док-во: пусть m=inf_[a,b]f(x)=f(x₁)

M=sup_[a,b]f(x)=f(x₂)

Хотя бы одна из точек х1 и х2 внутренняя и для нее теорема Ролля выполняется ЧТД.

Из формулы Тейлора, если n=0, то т.Лонгранджа: f(x₀+Ϫx)-f(x₀)=f’(x₀+Ϫx) Ϫx

Т. Коши

31. Теорема (правило) Лопиталя.

Если f(x),g(x) дифференцируемы вблизи т х=а и непрерывны в этой точке g’(x)≠0 вблизи т а,f(a)=g(a)=0, то предел отношений функции при х→а

если предел конечен и существует

Док-во: где ε точка между а и х

т.к. то пусть при х→а

(к некоторому пределу)

тк ε точка между а и х, то при х→a, ε→a⇒ ,

ТО:

31. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Опр: пусть функция определена на (а,b)и имеет в некоторой окрестности т х₀ ∈(а,b) производную f’(x)=y(x). Если в т х₀ существует производная функции y’(x₀) то она называется производной 2 го порядка исходной функции f в точке х₀

Для того чтобы существовалаnая производная в точке n-1 ая должна существовать в некоторой её окрестности.

Функция называется n раз дифференцируемой на множестве если в каждой точке этого множества существует nая производная этой функции на этом множестве.

Формула Лебница:

g⁽⁰⁾=g(x)