3.Функция. Отображение. Сюръективное, инъективное, биективное отображения. Суперпозиция отображений. Обратное отображение.
Отображением множества E в
множество F,
или функцией,
определенной на E со
значениями в F,
называется правило, или закон f,
который каждому элементу x
E ставит
в соответствие определенный элемент
f(x)
F .
Элемент x
E называют независимым
элементом,
или аргументом функции f,
элемент f(x)
F называют значением
функции f,
или образом;
при этом элемент x
E называется
прообразом элемента f(x)
F .
Отображение (функцию) обычно обозначают
буквой f или
символом f:
E
,
указывая тем самым, что f отображает
множество E в F.
Употребляется также обозначение x
,
указывающее, что элементу x соответствует
элемент f(x).
Отображение
f:
E
называется:
- инъективным (или инъекцией,
или взаимно
однозначным отображением множества E
в F),
если
,
или
если уравнение f(x)
= y имеет
не более одного решения;
- сюръективным (или сюръекцией, или отображением множества E на F), если f(E)= F и если уравнение f(x) = y имеет по крайней мере одно решение;
- биективным (или биекцией,
или взаимно
однозначным отображением множества E на
F),
если оно инъективно и сюръективно, или
если уравнение f(x)
= y имеет
одно и только одно решение.
Пусть
f:E
и
.
Поскольку
,
то отображение g каждому
элементу f(x)
f (E)
относит
определенный элемент 
.
Таким образом, каждому 
посредством
правила 
поставлен
в соответствие элемент
.
Тем самым определено новое отображение (или новая функция), которое назовем композицией отображений, или суперпозицией отображений, или сложным отображением.
Пусть f:E
-
биективное отображение и F ={y}.
В силу биективности f каждому 
соответствует
единичный образ x,
который обозначим через f -1(y),
и такой, что f(x)
= y.
Таким образом, определено отображение
,
которое называется обратным
отображению f,
или обратной
функцией функции f.
Очевидно, отображение f обратно
отображению f -1.
Поэтому отображения f и f
-1 называют
взаимно
обратными.
Для них справедливы соотношения
- инъективным (или инъекцией, или взаимно однозначным отображением множества E в F), если , или если уравнение f(x) = y имеет не более одного решения;
- сюръективным (или сюръекцией, или отображением множества E на F), если f(E)= F и если уравнение f(x) = y имеет по крайней мере одно решение;
- биективным (или биекцией, или взаимно однозначным отображением множества E на F), если оно инъективно и сюръективно, или если уравнение f(x) = y имеет одно и только одно решение.
4) Комплексные числа. Определение, свойства, алгебраическая и тригонометрическая формы записи. Модель и аргумент комплексного числа.
Комплексные числа
Комплексным
числом z
называется
выражение
,
где a
и b
– действительные числа, i
– мнимая единица, которая определяется
соотношением:
При этом число a называется действительной частью числа z (a = Rez), а b- мнимой частью (b = Imz).
Если a =Rez =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Imz = 0, то число z будет действительным.
Свойства:
1.
;
2.
;
3.
можно
определить противоположный элемент
,
который обладает следующим свойством
;
4.
обозначим 
=
(0, 0), тогда для любого z
будет выполнено z +
=
z;
5.
;
6.
;
7.
определим 
=(1,0)
, тогда 
;
8.
(обратный
элемент):
;
9.
;
10.
;
Алгебраическая форма записи:
Запись комплексного числа z в виде x+iy; x,y R , называется алгебраической формой комплексного числа.
Тригонометрическая форма записи:
Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r=|z| и аргумент ф(x=rcosф, y=rsinф), то комплексное число z можно записать в тригонометрической форме:
z=r(cosф+isinф).
Модель и аргумент комплексного числа:
Ф= argz, (-п<ф<=п либо 0<=ф<2п ) - аргумент комплексного числа z (главное значение аргумента);
Arg z - множество аргументов числа z:
argz= argz+ 2 пк, к z
ФормулаЭйлера:
