Исследование функции с помощью производной. Теорема о возрастании и убывании функций. Критические точки. Точки экстремума.
возрастание убывание функций (где пр – там убыв)
точки экстремума (где пр сменяет знак с - на + или с + на -)
критические точки (Где пр=0)
Теорема: если функция непрерывна на отрезке[a,b] и дифференцируема на нем(а,b) и производная f’(x)>0 на (a,b) то f(x) возрастает на отрезке (a,b).
Док-во:
и
ЧТД
Опр: точки maxminназываются точками экстремума
функция имеет в т х мах если её значение в этой точке больше значений чем во всех точках интервала содержащих эту точку.х-minесли f(x2+∆x)>f(x2) ∀х
Теорема (необходимое условие существования экстремума).
Т: Если f(x) дифференцируема в т. x1 и x1 т. Экстремума, то f’(x) в т. x1 = 0;
Док-во: Пусть f(x) - max, тогда при достаточно малых значениях Ϫх выполняется
f(x1+ Ϫх)< f(x1)=> f(x1+ Ϫх)-f(x1)<0 |=> (f(x1+ Ϫх)-f(x1))/Ϫх>0 (при Ϫх<0) и (f(x1+ Ϫх)-f(x1))/Ϫх<0 (при Ϫх>0) по опр: LimϪх->0 (f(x1+ Ϫх)-f(x1))/Ϫх=f’(x1);
т.е. если x->0 и Ϫх<0 |=>f’(x1)>=0;
т.е. если x->0 и Ϫх>0 |=>f’(x1)<=0 при Ϫх->0: f’(x1)=0. Чтд.
Теорема (достаточные условия существования экстремума).
Пусть
функция непрерывна на интервале (a,
b);
-
критическая точка; функция дифференцируема
во всех точках интервала за исключением
(в ней может быть и не дифференцируемой),
тогда если при переходе через
слева направо,
меняет знак с плюса на минус то
имеет
максимум в точке
,
если с минуса на плюс, то
имеет там минимум.
Доказательство:
Пусть
,
по теореме Лагранжа
если
,
то
,
или
если
,
то
в
любой окрестности точки
- точка максимума что требовалось
доказать
Для минимума аналогично.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
ищем критические точки
ищем значения функции в критических точках
находим значения функции на концах отрезка
сравниваем все значения: самое большое – наибольшее значение, самое меньшее – наименьшее значение функции на этом отрезке.