Виды последовательностей. Ограниченные, неограниченные, стационарные последовательности. Свойства ограниченных последовательностей.
Ограниченные и неограниченные последовательности
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Сходящиеся и расходящиеся последовательности
Монотонные последовательности
Ограниченные и неограниченные последовательности
Стационарные
Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.
(Xn)
-ограниченна сверху
Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества X, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.
(Xn)
-ограниченна снизу
(Xn)
-ограниченна
(Xn)
-неограниченна
Стационарная последовательность - это такая последовательность у которой начиная с какого-то члена все члены равны.
(Xn)-
стационарная
Свойства ограниченных:
Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
Для любого наперёд взятого положительного числаEвсе элементы ограниченной числовой последовательности
начиная
с некоторого номера, зависящего отE,
лежатвнутриинтервала
Если за пределами интервала (a,b) лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности , то интервал
содержится
в интервале(a,b).Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Предел последовательности. Теоремы о единственности предела последовательности.
Если последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет конечный предел.
если
для ⩝
>0
найдется такой номер N,
что при n>Nвыполняется
неравенство |an-a|<
.
Теорема: последовательность не может иметь более одного предела.
Док-во: пусть а и b-пределы последовательности. a<>ba=lim {Xn}, b=lim{Xn}
тогда. ∃ε>0 по определению такое что |a-xn|<ε/2; |b-xn|<ε/2
|a-b|=|(a-xn)+(b-xn)|≤|a-xn|+|xn-b|<ε/2+ε/2=ε
|a-b|=ε⇒т.к. ε ∀|a-b|=0 a=bпротиворечие. ЧТД.
Теорема об ограниченности сходимой последовательности.
Теорема: если последовательность сходиться, то она ограниченна. Обратное не верно.
Д
ок-во:
1+1/n
, n-четное
xn=
2-1/n , n-не четное
|xn|≤2