29. Функции от св и их законы распределения. Функции случайных аргументов

Пусть - случайный вектор, закон распределения которого известен, и- скалярная (для простоты) неслучайная функция, область определения которой содержит множество возможных значений вектора. Рассмотрим случайную величину(для того, чтобы функция случайных аргументовявлялась случайной величиной, функциядолжна быть борелевской, см. раздел «Основная теорема о математическом ожидании»). Известно, что для нахождения числовых характеристик случайной величиныдостаточно знать только закон распределения случайного вектора. Однако, во многих приложениях, особенно в математической статистике, необходимо уметь находить в явном виде закон распределения случайной величиныY, являющейся функцией случайных аргументов. Рассмотрим вначале задачу нахождения закона распределения случайной величины Y в одномерном случае ().

Функции от случайных величин

Дискретный случай. Пусть – дискретная случайная величина, принимающая значенияс вероятностями(случай счетного числа значений случайной величинырассмотреть самостоятельно). Тогда для произвольной неслучайной функции, область определения которой содержит множество возможных значений случайной величины, случайная величинаявляется дискретной и задача состоит в нахождении ее закона распределения.

а) Предположим вначале, что все значения различны (так, в частности, может быть, если функцияявляется монотонной в области возможных значений случайной величины). Тогда случайная величинабудет иметь столько же возможных значений, как и случайная величина, си при этом

. (4.1)

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

где в соответствии с (4.1) вероятности .

б) Предположим теперь, что среди значений есть совпадающие (это может быть, в частности, если функцияне является монотонной в области возможных значений случайной величины). Тогда случайная величинабудет иметь меньше возможных значений, чем случайная величина, и ими являются,, различные среди. При этом вероятностизначенийопределяются по формуле:

, (4.2)

Закон распределения случайной величины в данном случае имеет вид:

где в соответствии с (4.2) вероятности являются суммой вероятностейтех значений, для которых.,.

Пример. Найти закон распределения случайной величины , если случайная величинаХ является дискретной и имеет закон распределения

	-2	-1	0	1	2
	0.2	0.2	0.2	0.2	0.2

Решение. В соответствии с (4.2) закон распределения случайной величины имеет вид:

	0	1	2
	0.2	0.4	0.4

Непрерывный случай. Если – непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей, а– дифференцируемая функция в области возможных значений случайной величиныХ, то величина является непрерывной случайной величиной и задача состоит в нахождении плотности вероятностей.

Предположим вначале, что -монотонно возрастающая функция в области возможных значений случайной величины Х. Тогда у функции существует однозначная обратная функция и функцию распределения случайной величиныможно записать в виде:.

Дифференцируя обе части последнего равенства по , получаем:. (4.3)

Для монотонно убывающей в области возможных значений случайной величины Х функции

,

а после дифференцирования по обеих частей этого равенства имеем:

. (4.4)

Объединяя полученные в (4.3) и (4.4) результаты, получаем:

Если – непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей, а– монотонная дифференцируемая функция, то случайная величинаявляется непрерывной и ее плотность вероятностейопределяется черезпо формуле:, (4.5)

где – функция, обратная к функции(отметим, что равенство (4.5) имеет место только в точках непрерывности плотностей вероятностейи).

Если дифференцируемая функция не является монотонной в области

возможных значений случайной величины , то ее область определения можно разбить нанепересекающихся интервалов, на каждом из которых она монотонной будет и будет иметь однозначную обратную функцию. Применяя формулу (4.5) на каждом интервале монотонности, получаем:. (4.6)

Пример 1. Пусть – непрерывная случайная величина с плотностью вероятностей, а. Найти плотность вероятностей.

Решение. В данном случае функция является монотонной при любых значениях(прифункциявозрастает, при- убывает). Функция, обратная к, имеет вид:, а ее производная. Поэтому в соответствии с (4.5):. (4.7)

а) Рассмотрим линейное преобразование вида над случайной величиной.

В соответствии с (4.7) в этом случае , а с учетом того, что

для плотности вероятностей случайной величины имеем выражение:

Полученный результат схематично можно записать в виде:

и он означает, что из равномерного распределения на отрезке можно получить равномерное распределение на любом отрезкепутем линейного преобразования.

б) Рассмотрим линейное преобразование вида над случайной величиной.

В соответствии с (4.7) в этом случае , а с учетом того, что

для плотности вероятностей случайной величины имеем выражение:

.

Полученный результат схематично можно записать в виде:

и он означает, что из стандартного нормального распределения можно получить нормальное распределение с любыми параметрами путем линейного преобразования.

Пример 2. Пусть , а. Найти плотность вероятностей.

Решение. В данном случае функция не является монотонной в области возможных значений случайной величиныи имеет два интервала монотонностии. На каждом из интервалов функцияимеет однозначную обратную функцию:на первом интервалеи- на втором. Поскольку модуль производной,, то в соответствии с (4.6):,

а с учетом того, что , получаем:

,

при .

Пример 3. Пусть - строго монотонная функция распределения, а случайная величина. Тогда случайная величинаимеет заданную функцию распределения.

Решение. Действительно, .

Последнее равенство следует из того, что функция распределения случайной величины имеет вид:

.

Смысл примера 3. Предположим, что требуется получить значенийслучайной величиныс заданным законом распределения (смоделировать случайную величину). Для этого в соответствии с примером 3 необходимо найти функцию распределенияслучайной величиныи, если она имеет однозначную обратную функцию, то положить

, ,

где - значения случайной величины, имеющей равномерное распределение на отрезке(значенияможно получить путем обращения к датчику случайных чисел, входящему в стандартное математическое обеспечение любого персонального компьютера).