38.Цпт для независимых разнораспределенных св: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.

Теорема 2 (Линдеберга, ЦПТ для независимых разнораспределенных случайных величин, без доказательства).

Пусть - последовательность независимых разно-распределенных случайных величин, имеющих конечные математические ожиданияи дисперсии при любом .

Обозначим - сумму первыхслучайных величин,,,- функцию распределения случайной величины,.

Тогда, если для любого выполняется условие (условие Линдеберга)

,

то при последовательность случайных величинслабо сходится к стандартному нормальному закону распределения:

или, что эквивалентно, последовательность функций распределения сходится к функции распределениястандартного нормального закона распределения равномерно по всем:.

Эквивалентные формы записи утверждения ЦПТ: ,,

равномерно по всем .

Если все случайные величины являются непрерывными с плотностями вероятностей,, то условие Линдеберга принимает вид: для любого

Замечание. Если бы в условии Линдеберга стояли интегралы по всей прямой, то выражение в левой части условия равнялось бы 1. Условие Линдеберга требует, чтобы части дисперсий случайных величин по области, выходящей за границы суммарного квадратического отклонения, в сумме давали бы бесконечно малую величину по сравнению с.

Смысл условия Линдеберга.

Говорят, что случайные величины равномерно асимптотически малы, если для любогопри.

Поскольку

,

то из условия Линдеберга следует равномерная асимптотическая малость случайных величин в соответствии с леммой о двух милиционерах. Другими словами, для того, чтобы ЦПТ имела место, все слагаемые в центрированной и нормированной суммедолжны быть равномерно асимптотически малы в том смысле, что вероятность хотя бы одному из них превзойти величинудолжна стремиться к нулю при возрастании числа слагаемых (то есть, влияние каждого слагаемого на всю сумму должно быть очень мало). Заметим, что данное ограничение касается исключительно случая разнораспределенных слагаемых, для одинаково распределенных слагаемых ЦПТ выполняется без каких-либо дополнительных предположений.

Задача. Показать, что для независимых одинаково распределенных случайных величин условие Линдеберга выполняется всегда.

Таким образом, условие Линдеберга является достаточным для справедливости ЦПТ и выполнения условия равномерной асимптотической малости случайных величин . Оказывается, что при наличии равномерной асимптотической малости случайных величинусловие Линдеберга является и необходимым для справедливости ЦПТ (это утверждение известно как теорема Линдеберга-Феллера).

Существуют и другие достаточные условия для справедливости ЦПТ. Они, естественно, являются более ограничительными, чем условие Линдеберга, но проверять на практике их проще. Примером тому служит следующая теорема.

Теорема 3 (Ляпунова, ЦПТ для независимых разнораспределенных случайных величин).

Пусть - последовательность независимых разно-распределенных случайных величин, имеющих конечные математические ожидания, дисперсии и центральные абсолютные моменты порядка при некотором и любом.

Обозначим - сумму первыхслучайных величин,,и.

Тогда, если (условие Ляпунова),

то при последовательность случайных величинслабо сходится к стандартному нормальному закону распределения:

или, что эквивалентно, последовательность функций распределения сходится к функции распределениястандартного нормального закона распределения равномерно по всем:.

▲ Покажем, что условие Ляпунова является достаточным для выполнения условия Линдеберга.

Действительно, для любого

.

Следовательно, .

Поэтому, если выполняется условие Ляпунова, то по лемме о двух милиционерах выполняется и условие Линдеберга ■.

При ссылках на ЦПТ удобно использовать понятие асимптотической нормальности.

Определение. Говорят, что случайная величина приасимптотически нормальна с параметрами(краткая запись:), если закон распределения случайной величиныслабо сходится прик стандартному нормальному закону распределения:

.

С учетом этого определения утверждения Теорем 1 и 2 можно записать следующим образом.

Теорема 1. ;Теорема 2.

Прикладное значение ЦПТ состоит в следующем. Если случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, то можно считать, что ее закон распределения является нормальным, причем тип распределения слагаемых безразличен (при выполнении условия Линдеберга). Этим фактом и объясняется широкое распространение на практике нормального закона распределения.

Проиллюстрируем действие ЦПТ на сумме независимых равномерно распределенных СВ .

Обозначим - плотность вероятностей случайной величины,,- плотность вероятностей случайной величины.

С одной стороны, плотность вероятностей можно найти аналитически с помощью интеграла свертки (4.13):.

Графическая иллюстрация этого:

С другой стороны, поскольку , то в соответствии с ЦПТ случайная величина

имеет приблизительно стандартный нормальный закон распределения или, что эквивалентно, случайной величина является асимптотически нормальной:. Последнее означает, что для плотности вероятностейсправедливо приближенное равенство:

. (4.19)

Оказывается, что уже при , точность приближения в равенстве (4.19) вполне пригодна для практического использования и это свидетельствует о достаточно быстрой скорости сходимости в ЦПТ.

При утверждение ЦПТ принимает вид:

или . (4.20)

На последнем соотношении основан алгоритм получения значений стандартной нормальной случайной величины с помощью значений случайной величины, то есть с помощью датчика случайных чисел:.

Заметим, что алгоритм моделирования стандартной нормальной случайной величины с помощью функции, обратной к функции распределения, неприменим, поскольку функция Лапласа не выражается через элементарные.