- •1. Случайный эксперимент. Пространство элементарных событий. Случайные события и операции над ними.
- •Свойства операций над событиями
- •2. Классическое определение вероятности. Урновая схема. Пример.
- •3. Геометрическое определение вероятности. Пример.
- •4. Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностное пространство. Свойства вероятности.
- •5. Условная вероятность и ее свойства. Правило и теорема умножения вероятностей.
- •6. Независимость событий. Свойства независимых событий. Независимость в совокупности.
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса. Пример.
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли. Наивероятнейшее число успехов.
- •9. Понятие случайной величины (св). Функция распределения св и ее свойства.
- •10. Дискретные св. Закон распределения дискретной св.
- •11. Важнейшие дискретные св.
- •12. Непрерывные св. Плотность вероятностей и ее свойства.
- •13. Важнейшие непрерывные св.
- •14. Математическое ожидание (мо) дискретных и непрерывных св.
- •15. Основная теорема о мо. Свойства мо.
- •16. Моменты высших порядков. Дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Свойства дисперсии.
- •17. Числовые характеристики важнейших св.
- •18. Случайные векторы. Функция распределения случайного вектора и ее свойства.
- •19. Дискретные случайные векторы. Закон распределения дискретного случайного вектора.
- •20. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей случайного вектора и ее свойства.
- •21.Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге.
- •22. Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности.
- •23.Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики.
- •24.Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов.
- •25. Теоремы о числовых характеристиках.
- •26. Некоррелированные св. Связь между некоррелированностью и независимостью. Пример.
- •27. Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл.
- •28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.
- •29. Функции от св и их законы распределения. Функции случайных аргументов
- •Функции от случайных величин
- •Функции от случайных векторов
- •30. Закон распределения суммы св. Композиция (свертка) законов распределения. Пример.
- •31. Неравенство Чебышева. Виды сходимости последовательностей св и связь между ними.
- •Неравенство Чебышева
- •Виды сходимости последовательностей случайных величин и связь между ними
- •32. Закон больших чисел (збч) для последовательностей св. Теоремы Маркова и Чебышева.
- •33. Збч для последовательностей независимых одинаково распределенных св. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.
- •34. Характеристическая функция св и ее свойства.
- •Свойства характеристических функций
- •35.Характеристические функции важнейших св. Устойчивость нормального закона распределения.
- •Характеристические функции случайных векторов
- •36. Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности.
- •37.Центральная предельная теорема (цпт) для независимых одинаково распределенных св. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •38.Цпт для независимых разнораспределенных св: теоремы Линдеберга и Ляпунова. Смысл условия Линдеберга. Асимптотическая нормальность.
- •39. Теорема Хинчина. Понятие об усиленном збч.
- •40. Статистическая модель. Генеральная совокупность (гс), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных.
- •41. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •42. Гистограмма и полигон частот.
- •43.Выборочные (эмпирические) числовые характеристики. Выборочное среднее и выборочная дисперсия.
- •44.Точечные оценки неизвестных параметров распределений. Требования, предъявляемые к точечным оценкам.
- •Точечные оценки. Методы нахождения точечных оценок.
- •45. Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии как точечных оценок мо и дисперсии соответственно.
- •46. Метод моментов получения точечных оценок. Свойства оценок, найденных по методу моментов. Пример. Метод моментов.
- •47. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок максимального правдоподобия. Пример.
- •48. Интервальные оценки неизвестных параметров распределений. Доверительные интервалы (ди) для мо нормально распределенной гс (при известной и неизвестной дисперсии).
- •49. Ди для дисперсии нормально распределенной гс (при известном и неизвестном мо).
- •50. Асимптотические ди для мо и дисперсии произвольно распределенной гс.
- •51. Статистические гипотезы. Критерии согласия и их характеристики.
- •52. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки простой гипотезы о виде распределения.
- •53. Критерий хи-квадрат Пирсона для проверки сложной гипотезы о виде распределения.
17. Числовые характеристики важнейших св.
1. Индикаторная случайная величина.
Индикаторная случайная величина имеет вид:
а ее закон распределения:
|
0 |
1 |
|
q |
p |
где .
Найдем математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
.
.
Окончательно, |
, . |
2. Биномиальная случайная величина .
Множество возможных значений биномиальной СВ ,
а вероятности, с которыми значения принимаются, определяются по формуле Бернулли:
.
Найдем математическое ожидание случайной величины :
.
Для нахождения дисперсии случайной величины вычислим вначале:
.
Теперь для дисперсии случайной величины получаем выражение:
.
Окончательно, |
, . |
3. Геометрическая случайная величина .
Множество возможных значений геометрической случайной величины,
а вероятности значений определяются по формуле: .
Найдем математическое ожидание случайной величины :.
Заметим, что ряд представляет собой результат дифференцирования погеометрической прогрессии. Поэтому
.
Для нахождения дисперсии СВ вычислим вначале.
.
Заметим теперь, что при нахождении математического ожидания было получено, что . Поэтому .
Теперь для дисперсии случайной величины получаем выражение:.
Окончательно, |
, . |
4. Пуассоновская случайная величина .
Множество возможных значений пуассоновской случайной величины,
а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой:.
Найдем математическое ожидание случайной величины :
.
Для нахождения дисперсии случайной величины вычислим вначале:
Теперь для дисперсии случайной величины получаем выражение:
.
Окончательно, |
, . |
5. Равномерная случайная величина .
Плотность вероятностей случайной величины , равномерно распределенной на отрезке, имеет вид:
Найдем математическое ожидание случайной величины :
.
Найдем далее :
.
Для дисперсии случайной величины получаем выражение:
.
Окончательно, |
, |
6. Показательная (экспоненциальная) случайная величина .
Плотность вероятностей показательно распределенной случайной величины имеет вид:
Найдем математическое ожидание случайной величины :
.
Найдем далее :
.
Для дисперсии случайной величины получаем выражение:
.
Окончательно, |
, |
7. Нормальная (гауссовская) случайная величина .
Плотность вероятностей нормально распределенной с параметрами случайной величиныимеет вид:
.
Найдем математическое ожидание случайной величины :
Найдем дисперсию случайной величины (причем в данном случае удобнее пользоваться выражением для дисперсии):
.
Окончательно, |
, |
8. Случайная величина, имеющая распределение Коши.
Случайная величина , распределенная по закону Коши, имеет плотность вероятностей вида:
.
Найдем математическое ожидание этой случайной величины:
.
В связи с этим проверим выполнения условие существования математического ожидания, а именно абсолютную сходимость интеграла:
.
Поскольку интеграл абсолютно расходится, то у случайной величины, распределенной по закону Коши, математического ожидания не существует. А, следовательно, у данной случайной величины не существует дисперсии и других моментов более высоких порядков.