DKR-LA-E-1_-_varianty

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 251

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

2. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в

матричной форме:

−2x1 − x2 + x3 = 2.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−15x1 + x2 +3x3 = −27,

−14x1 +2x2 −2x3 = 10,

−31x1 +3x2 +2x3 = −25.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = ( −3; −3; −3),e2 = (−3; −4; −1), e3 = (6;8;2) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (0;15; −10),e2 = (−1;18; −9), e3 = (3;0; −9).

7. Найдите арифметический вектор v = 2a +b +3c, если a = (5;3; −4),

b = (2; −5; −5), c = (6;1; −2).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v и w, если известно, что

v = 5, w = 2 и угол междувекторами v и w равен 120 .

9. Найдите ортогональное дополнение к векторам a = (1; − 3; −3),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (−4; −2;3).

10.Разложите вектор v = (21; −35) по базису e1 = ( −2; −2), e2 = (5; −3).

11.Является ли базис e1 = (−1;3), e2 = (4; −1), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (4; −3) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 252

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

15x+2y−2z = 45,

−5x+2y = −13,

5y−z = 4.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

7x− y+5z = −36,

−9x+3y−10z = 59,

−8x+3y−9z = 52.

3.Определите, при каких значениях параметра ξ система уравнений несовместна

−9x1 +12x2 −6x3 = 4,

−12x1 +11x2 +2x3 = ξ,

−6x1 +8x2 −4x3 = 2.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−x1 −15x2 +3x3 = −19,

x1 +3x2 + x3 = −13.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (0; −3;1),

e2 = (−5; −10;0), e3 = (−4; −24;5) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−6; −2;0),e2 = (−2;0; −1), e3 = (− 3; −3;3).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

9. Найдите единичный вектор x, ортогональный векторам a = (1;5;3),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (4;3;1).

10.Разложите вектор v = (−15;7) по базисуe1 = (3;5), e2 = (−3;3).

11.Является ли базис e1 = (3;1), e2 = (−1;3), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (2;1) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 253

1. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−9x1 +8x2 = 10,

−x1 +10x2 = 74.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−3x2 − x3 +4x4 = 1,

−2x1 − x2 + x3 +5x4 = 6.

3.Определите, при каких значениях параметра η система уравнений несовместнa

ηx1 +13x2 +10x3 = 7,

2x1 + x2 +4x3 = 1,

−5x1 +5x2 − x3 = 3.

4. Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−4x1 −31x2 +3x3 −32x4 = 17,

−x1 −24x2 +4x3 −21x4 = 27,

3x1 +22x2 −2x3 +23x4 = −11.

5.Являются ли арифметическиe векторы e1 = (9;0; −3), e2 = (−6;12;3),e3 = (0; −9; −3) компланарными? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (0;12;8), e2 = (0;9;6),e3 = (0; −6; −4), e4 = (0;3;2).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

8.Найдите длинувектора v = a +2b, если a = (2;1;2; − 3), b = (1;3; −4;3).

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

9. Найдите вектор x, если a = (5; −3), b = (−2;2) и известно, что (x,a) = −6,

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

(x,b) = 5.

10. Разложите вектор v = (14;48) по базисуe1 = (−4;3), e2 = (5;6).

−1

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

−2

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 254

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−7x+10y = 64,

7x+2y = −4.

2.Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

3. Определите, при каких значениях параметра η система уравнений имеет единственное решение

−2x1 +4x2 −10x3 = 5,

17x1 +14x2 +19x3 = η,

−3x1 +6x2 −15x3 = 5.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−4x1 + x2 −4x3 +8x4 = −25,

6x1 + x2 + x3 −7x4 = 10,

26x1 +5x2 +3x3 −29x4 = 36.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (0;2;6),

e2 = (−5; −15; −9), e3 = (2;4;0) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−8; −1; −11),e2 = (0;5; −5), e3 = ( −2;0; −3).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

c = (1; −5;1).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v = 2e1 +e2 −3e3 +3e4 +5e5 и

w = −4e1 −3e2 +3e3 −4e4 +5e5, где e1, e2, e3, e4, e5 — ортонормированный

базис.

9. Найдите вектор x, если a = ( −3;5), b = (−4;5) и известно, что (x,a) = −1,

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

(x,b) = −5.

10.Разложите вектор v = (−24; −22) по базисуe1 = (6;1), e2 = (6;7).

11.Является ли базис e1 = (3;2), e2 = (−2;1), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = ( −3; −2) по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 255

1. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

4x+ z = −7,

2x −3y = 1,

3x +6y+3z = −18.

2.Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

24x1 −12x2 −4x3 = 1.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

8x1 −16x2 +3x3 + x4 = 19,

−8x1 − x3 + x4 = −17,

20x1 −4x2 +3x3 −2x4 = 43.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (3;1;2), e2 = (0;0; −2),e3 = (0; −2; −1) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (15;6; −3),

e2 = (5;2; −1).

7. Найдите арифметический вектор v = −2a−3b− 2c, если a = (3;3;2),

b = (−2;3; −1), c = (1;4; −5).

8. Найдите косинус угла междувекторами v = (5;2;4; −4;1) и

w = ( −1;1; −3; −2;2). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

9. Найдите значение параметра λ, для которого вектора v и w +λv

перпендикулярны, если v = (2;1;5;3; −2) и w = (−3; −2;1;1;3). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

10.Разложите вектор v = (69;24) по базисуe1 = (7;2), e2 = (9;4).

11.Является ли базис e1 = (4;1), e2 = (−1; −2), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (4;3) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 256

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в

2. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

3x1 +4x2 + x3 = 35,

x1 − x2 −4x4 = −11,

−2x1 + x2 + x3 +4x4 = 2.

3.Определите, при каких значениях параметра φ система уравнений совместнa

φx1 + x2 −17x3 = 1,

7x1 −3x2 −7x3 = −2,

2x1 −5x2 −2x3 = −2.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−14x1 +4x2 −35x3 +3x4 = 29,

13x1 − x2 −15x3 +4x4 = 7,

−18x1 +4x2 −25x3 + x4 = 23.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (−4; −2; −2),

e2 = (−12; −8;0), e3 = (2;0;4) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−5; −4;2),e2 = (−2; −2;4).

7. Найдите арифметический вектор v = 3a −3b +c, если a = (6; −5;6),

b = (−3;5;4), c = (4;1;3).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v и w, если известно, что

v = 10, w = 13 и угол междувекторами v и w равен 120 .

11. Является ли базис e1 = (3;1), e2 = (−1;3), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (2;3) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 257

1. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

5x+4y = 14,

9x +8y = 30.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

3. Определите, при каких значениях параметра ν система уравнений совместнa

−5x1 +2x2 −5x3 = −2,

−7x1 +νx2 + x3 = 3,

2x1 +3x2 +4x3 = 1.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

10x1 + x2 − x3 = 8,

−14x1 − x2 +3x3 = −22.

5.Дана линейно зависимая система арифметических векторов

e1 = (−6; −12;9), e2 = (4; −8; −6), e3 = (−6; −6;9). Найдите какую-либо

равную линейную комбинацию этих арифметических векторов, в которой хотя

0

бы один коэффициент не равен нулю.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (4;4;4),e2 = (−2; −2; −2).

7. Найдите арифметический вектор v = a −b+2c, если a = (1; −5;6),

b = (−5; −3;6), c = (1; −1;6).

8. Выясните, какой из векторов v = ( −3; −2;2;2;4) и w = (1;5;2;4; −1)

длиннее? В ответе укажите длинуболее длинного вектора. (Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.)

базисе.

10. Разложите вектор v = (−60; −23) по базисуe1 = (8; −3), e2 = ( −9; −8).

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 258

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

4x−4y−2z = 4,

3y+2z = −4,

−x + y = −3.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−x2 +3x3 +3x4 = 11,

3x1 − x2 +3x3 +2x4 = 24,

5x1 + x2 −4x4 = 25.

3.Определите, при каких значениях параметра δ система уравнений несовместна

3x1 −3x2 +2x3 = δ,

2x1 +5x2 +4x3 = −2,

x1 +7x2 −6x3 = 3.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−2x1 +5x2 +3x3 = 19,

−x1 −2x2 +3x3 = 20.

5.Дана линейно зависимая система арифметических векторов e1 = (4;4;2),

e2 = (−1; −2; −2), e3 = (1;0; −1). Найдите какую-либо равную 0 линейную комбинацию этих арифметических векторов, в которой хотя бы один коэффициент не равен нулю.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (6;2;0), e2 = (11;3;1),e3 = (−6; −4;3), e4 = (− 2;0; −1).

7. Найдите арифметический вектор v = −2a+3b− 2c, если a = (5;2;4),

b = (3; −5; −6), c = (4; −3; −6).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v = 5e1 −5e2 −6e3 −3e4 − e5 иw = e1 −3e2 −3e3 +2e4 −5e5, где e1, e2, e3, e4, e5 — ортонормированный базис.

базисе.

10.Разложите вектор v = (−1;42) по базисуe1 = ( −7; −6), e2 = (−9;3).

11.Является ли базис e1 = (−1; −4), e2 = (4; −2), ортогональным? Если да,

то разложите вектор v = (3; − 2) по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 259

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−5x1 −7x2 +2x3 = −21,

x1 +2x2 = 7,

3x2 + x3 = 13.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

3. Определите, при каких значениях параметра β система уравнений имеет бесконечное число решений

−5x1 −6x2 +6x3 = 6,6x1 +5x2 +2x3 = 6,

−3x1 +2x2 −3x3 = β.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−x1 +3x2 +21x3 = −5,

−x1 + x2 +3x3 = −3,

−x1 +2x2 +12x3 = −4.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (0;1; −2),

e2 = (−1;0; −2) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (3;0; −6),e2 = (8;2; −4), e3 = ( −3; −1;0), e4 = (12;5;6).

7. Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

−a +2x = a +3b +3x, если a = (−6; −2;5;4), b = (3;2; − 2; −3).

8. Найдите косинус угла междувекторами v = e1 +e2 +3e3 +2e4 −2e5 иw = e1 +6e2 −e3 −e4 −3e5, где e1, e2, e3, e4, e5 — ортонормированный базис.

11. Является ли базис e1 = (−1;3), e2 = (−3; −1), ортогональным? Если да,

то разложите вектор v = (−2; −3) по этомубазису. Координаты векторов даны в

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 260

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

4x−7y = −32,

−2x+3y = 14.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

3. Определите, при каких значениях параметра λ система уравнений

несовместнa

3x1 +5x2 + x3 = 1,

−4x1 −3x2 +2x3 = −3,

λx1 +9x2 +7x3 = −1.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

x1 +19x2 −2x3 = −26,

2x1 +24x2 −2x3 = −34.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = ( −9;12; −3),e2 = (−9;9;12), e3 = (−3;3;4) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (1;5; −4),e2 = (2; −5;3).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

8. Вычислите скалярное произведение векторов v и w, если известно, что

v = 11, w = 7 и угол между векторами vи w равен 30 .

9. Найдите единичный вектор x, ортогональный векторам a = ( −3; −3; −1),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (3; −3;3).

10.Разложите вектор v = (−75; −9) по базису e1 = (8; −2), e2 = (9;7).

11.Является ли базис e1 = (3;4), e2 = (−4;3), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (1;5) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 261