DKR-LA-E-1_-_varianty

x1 +5x2 + x3 = 1,

x1 +14x2 −2x3 = 4.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (3;0;6), e2 = (4;3; −10),e3 = (−10; −5;0) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−4; −2;3),

e2 = (0;1; −1), e3 = (10;0; −5).

7. Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

c = (−4;1; −6).

8. Вычислите скалярное произведение векторов

v = −5e1 +3e2 +3e3 +6e4 +4e5 и w = −5e1 +3e2 −2e3 −4e4 −5e5, где e1, e2,e3, e4, e5 — ортонормированный базис.

9. Найдите единичный вектор x, ортогональный векторам a = ( −3; −1;2),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (2; −3;4).

10.Разложите вектор v = (−18; −12) по базисуe1 = (2;10), e2 = (− 7;4).

11.Является ли базис e1 = (−3;1), e2 = (−2; −3), ортогональным? Если да,

то разложите вектор v = (1; − 2) по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 300

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

3x−5y = −7,

−6x+7y = 8.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−y+z +3t = 2,

2x+4y+4z +t = 15,

2x−4y+z = −33,

−2x+5t = 23.

3.Определите, при каких значениях параметра ζ система уравнений имеет бесконечное число решений

10x1 −4x2 +2x3 = −6,

−15x1 +6x2 −3x3 = 9,

5x1 +ζx2 −35x3 = −40.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

2x1 −21x2 + x3 = 17,

2x1 −27x2 +3x3 = 19,

−2x1 +12x2 +2x3 = −14.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (3; −1;1), e2 = (1;0;0),e3 = (2;2;0) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−6;5; −4),

e2 = (0; −2;4), e3 = (1;0; −1).

7. Найдите арифметический вектор v = −3a−b, если a = (1;4;3; −2),

b = (2; −1; −4; − 4).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v и w, если известно, что

v = 12, w = 12 и угол междувекторами v и w равен 90 .

9. Найдите ортогональное дополнение к векторам a = (1; − 3; −4),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (4; −1; −1).

−2

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 301

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

y−z = 0,

−x+2y−2z = 2,

x−2y = 6.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

6x1 +7x2 +8x3 = −36,

−6x1 +6x2 +4x3 = −36,

9x1 +3x2 +5x3 = −12.

3.Определите, при каких значениях параметра σ система уравнений несовместнa

−5x1 +7x2 +3x3 = 2,

−x1 +11x2 +σx3 = 5,

−7x1 +5x2 +2x3 = 1.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

x1 − x2 +15x3 = 1,

x1 + x2 + x3 = −9,

−x1 +2x2 −22x3 = −6.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (2; −8; −6),

e2 = (−2;8;6), e3 = ( −6; −9; −3) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−10; − 15;0),e2 = (8;8;8), e3 = (−4;0; −12), e4 = (0; −3;6).

7. Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

2b −3x = −3a +4b −4x, если a = (−6; −3;2; −3), b = (5;1;4; −5).

8. Выясните, какой из векторов v = −2e1 −3e2 +e3 +e4 −3e5 и

w = 5e1 +3e2 − e3 −4e4 +3e5 короче? Тут e1, e2, e3, e4, e5 — ортонормированный базис. В ответе укажите длину более короткого вектора.

9. Найдите вектор x, если a = (5; −4), b = (5; −3) и известно, что (x,a) = 5,

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

(x,b) = 2.

10.Разложите вектор v = (9; −3) по базисуe1 = (−9;10), e2 = (6; −9).

11.Является ли базис e1 = (−3; −1), e2 = (1; −1), ортогональным? Если да,

то разложите вектор v = (1;2) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 302

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в

матричной форме:

2. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

3. Определите, при каких значениях параметра γ система уравнений имеет

бесконечное число решений

3x1 +5x2 +34x3 −29x4 = −33.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (2; −2;3),e2 = (0;0; −2), e3 = (0;2;3) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (12;0; −4),e2 = (9;6;0), e3 = (13;8; −1).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

8. Найдите длинувектора v = 2a +b, если a = 5e1 +e2 +e3 −3e4 +2e5,

b = 4e1 +e2 −e3 +e4 +2e5, где e1, e2, e3, e4, e5 — ортонормированный базис.

9. Найдите единичный вектор x, ортогональный векторам a = (5;5; −3),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (−4; −3;2).

11. Является ли базис e1 = (−1;3), e2 = (−3; −1), ортогональным? Если да,

то разложите вектор v = (2;1) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 303

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

5x1 −3x3 = −24,

25x1 +2x2 −6x3 = −91,

x2 +5x3 = 16.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−2y+3z = 11,

x−3y+2z +2t = −1,

−2x−3y+3t = −24,

x+ z−t = 12.

3.Определите, при каких значениях параметра ω система уравнений

несовместна

10x1 −6x2 −2x3 = −2,

−2x1 −12x2 +16x3 = ω,

15x1 −9x2 −3x3 = −2.

4. Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

3x1 +12x2 +15x3 + x4 = 10,

−4x1 +3x2 − x3 +5x4 = 12,

x1 + x3 − x4 = −2.

5.Являются ли арифметическиe векторы e1 = (8; −6; −4), e2 = (12; −8;0),e3 = (−5;0;10) компланарными? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−24; − 24;18),e2 = (20;20; −15), e3 = (−4; −4;3).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

8. Вычислите скалярное произведение векторов v и w, если известно, что

v = 9, w = 3 и угол междувекторами v и w равен 135 .

9. Найдите вектор x, коллинеарный вектору a = (1; −4;2) и такой, что

10.Разложите вектор v = (6; −14) по базисуe1 = (3;4), e2 = (−2;1).

11.Является ли базис e1 = (−1;3), e2 = (−3; −1), ортогональным? Если да,

то разложите вектор v = (1; − 2) по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 304

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

3x +4y+2z = −13,

−x+ y−2z = 17,

−6x+2y−10z = 82.

3.Определите, при каких значениях параметра θ система уравнений имеет единственное решение

4x1 −3x2 +4x3 = θ,

−6x1 −3x2 +6x3 = 6,

8x1 +4x2 −8x3 = −8.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

x1 +6x2 − x3 = 2,

2x1 +24x2 + x3 = −20.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (−6;9;0),

e2 = (−8;14; −6), e3 = (0;1; −3) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−8;15; −12),e2 = (0; −12;8), e3 = (6;0;3).

7. Найдите арифметический вектор = + + если = ( )v a 3b 2c, a 1;5;3 ,

= ( − ) = ( − ) b 6; 5;3 , c 4;5; 2 .

8. Выясните, какой из векторов v = −4e1 +e2 +e3 +5e4 и

w = 2e1 + e2 −5e3 +2e4 короче? Тут e1, e2, e3, e4 — ортонормированный базис. В

ответе укажите длинуболее короткого вектора.

9. Найдите единичный вектор x, ортогональный векторам a = (3;2; −5),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (3;3; −1).

11. Является ли базис e1 = (3;2), e2 = (−2;3), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = ( −1; −2) по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 305

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

3y− 5z = 3,

x+2z = −5,

−4x−9y+3z = 23.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

5y+3z +3t = −10,

−3x+5y− z = −24,

−x−2y+3z +4t = −4.

3.Определите, при каких значениях параметра τ система уравнений совместна

−4x1 +7x2 +5x3 = −1,

8x1 −19x2 −19x3 = τ,

−2x1 + x2 −2x3 = 2.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

29x1 +3x2 +2x3 = −22,

12x1 + x2 + x3 = −8.

5.Дана линейно зависимая система арифметических векторов e1 = (5;5;2),

e2 = (14;2;2), e3 = (4; −8; −2). Найдите какую-либо равную 0 линейную комбинацию этих арифметических векторов, в которой хотя бы один коэффициент не равен нулю.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−3; −2; −3),e2 = (4; −3;4).

7. Найдите арифметический вектор v = −2a+3b+3c, если a = (5;3; −2),

b = (4; −1; −3), c = (− 1;6;4).

8. Выясните, какой из векторов v = 2e1 − e2 +e3 +2e4 и

w = 5e1 −5e2 −4e3 −4e4 короче? Тут e1, e2, e3, e4 — ортонормированный базис.

В ответе укажите длину более короткого вектора.

9. Найдите единичный вектор x, ортогональный векторам a = ( −3; −4;3),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (−2;5;1).

11. Является ли базис e1 = (1; −3), e2 = (3;1), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (1; −2) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 306

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в

матричной форме:

2. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

3x2 + x4 = 13,

3x1 +5x2 −3x3 = 12,

−3x1 + x3 +3x4 = 11,

−2x1 + x2 +2x3 + x4 = 9.

3. Определите, при каких значениях параметра φ система уравнений совместна

x1 −5x2 −11x3 = φ,

3x1 − x2 − x3 = 3,

−5x1 +4x2 +7x3 = 5.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−2x1 −6x2 + x3 = 15,

2x1 +12x2 +2x3 = 6,

−x1 +2x2 +3x3 = 25.

5.Являются ли арифметическиe векторы e1 = (6;0; −9), e2 = (−10;9;9),e3 = (0; −12;8) компланарными? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−1;1;0),

e2 = (−10;2; −3), e3 = (−4;0; −2).

7. Найдите арифметический вектор v = a +2b +c, если a = (4;1;2),

b = (−1; −1;3), c = (6;1;2).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v и w, если известно, что

v = 9, w = 2 и угол междувекторами v и w равен 0.

9. Найдите вектор x, если a = ( −3;4), b = (1;1) и известно, что (x,a) = −4,

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

(x,b) = −1.

11. Является ли базис e1 = (−1;3), e2 = (−3; −1), ортогональным? Если да,

то разложите вектор v = (2;3) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 307

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

2x+5y = −3,

7x+6y = 24.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

4x+2y+3z −2t = −11,

5x−3y−2t = 2.

3.Определите, при каких значениях параметра α система уравнений имеет единственное решение

−5x1 −4x2 +5x3 = α,

6x1 +21x2 −12x3 = 18,

−8x1 −28x2 +16x3 = −24.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−2x1 + x2 − x3 = − 1,

12x1 +2x2 +2x3 = −14.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (8;4;0), e2 = (5;3; −2),e3 = (2;0;4) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (0; −6; −9),

e2 = (−2; −1;0), e3 = (− 6;5;12).

7. Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

3b −4c+4x = −a+4b +5c+5x, если a = (4; −6; −1), b = (−1; −6;6),c = (4;1; −5).

8. Выясните, какой из векторов v = 3e1 +5e2 +3e3 и w = 4e1 −2e2 −5e3 короче?

Тут e1, e2, e3 — ортонормированный базис. В ответе укажите длинуболее короткого вектора.

9. Найдите ортогональное дополнение к векторам a = (4;2;5),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (−3; −2;5).

11. Является ли базис e1 = (3;2), e2 = (1;3), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = ( −2; −3) по этому базису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 308

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

7x−2y = −42,

−8x+3y = 53.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

3x2 − x3 +2x4 = −11,

3x1 +2x2 +4x3 − x4 = 31.

3.Определите, при каких значениях параметра η система уравнений совместна

11x1 −3x2 −14x3 = η,

−7x1 − x2 +4x3 = 3,

5x1 +3x2 + x3 = 5.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

11x1 − x2 + x3 = 10,

−13x1 +2x2 + x3 = −17,

x1 + x2 +3x3 = −6.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = ( −3;0;9),

e2 = (1;5; −13), e3 = (0;1; −2) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−1; −2; −2),e2 = (0; −2; −1), e3 = (0;1;0).

7. Найдите арифметический вектор v = a +2b −3c, если a = (3;5; −2),

b = (2;4; −5), c = (−4; −3;5).

8. Выясните, какой из векторов v = 3e1 −3e2 +e3 +4e4 − 5e5 и

w = e1 +2e2 −4e3 +2e4 + e5 длиннее? Тут e1, e2, e3, e4, e5 — ортонормированный базис. В ответе укажите длину более длинного вектора.

9. Найдите значение параметра λ, для которого вектора v и w +λv

перпендикулярны, если v = (1; −6;5;2) и w = (2; −3; −2; −4). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

−3

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

−2

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 309

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

4x1 −3x2 = 2,

2x1 +6x2 +9x3 = 64,

2x1 +3x3 = 16.

2.Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме: