DKR-LA-E-1_-_varianty

w = 5e1 −3e2 − e3 +2e4 +6e5 короче? Тут e1, e2, e3, e4, e5 — ортонормированный базис. В ответе укажите длину более короткого вектора.

9. Найдите вектор x, если a = ( −5;2), b = (5; −1) и известно, что (x,a) = 1,

−2

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

−1

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 184

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

3x+5z = 14,

−5x + y = −17,

−2x+4y+25z = 11.

2.Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

единственное решение

14x1 − 9x2 + βx3 = 0,

−2x1 +5x2 +6x3 = 0,

5x1 −6x2 − x3 = 0.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

2x1 +14x2 −20x3 +3x4 = 1,

5x1 +22x2 −24x3 + x4 = −17.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (17; −5; −4),e2 = (−5;0;10), e3 = (3; −1;0) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−4;4; −3),e2 = (−16;16; −12), e3 = (4; −4;3), e4 = (12; −12;9).

7. Найдите арифметический вектор v = 3a +b +3c, если a = (1; −3;6),

b = (−1;1;4), c = (5; −4;3).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v и w, если известно, что

π

v = 11, w = 2 и угол между векторами vи w равен 3 .

9. Найдите вектор x, если a = ( −5;4), b = (−1;2) и известно, что (x,a) = 3,

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

(x,b) = 1.

10.Разложите вектор v = (12;48) по базисуe1 = (4;10), e2 = (8;2).

11.Является ли базис e1 = (2;2), e2 = (−3;2), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = ( −1;3) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 185

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в

матричной форме:

2. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−3x2 + x4 = 8,

3x1 +4x2 +5x3 + x4 = −23,

2x1 +2x3 + x4 = −8.

3.Определите, при каких значениях параметра β система уравнений имеет единственное решение

βx1 +11x2 −5x3 = 0,

2x1 −3x2 −3x3 = 0,

−x1 +5x2 + x3 = 0.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−2x1 + x2 +17x3 = 7,

2x1 −2x2 −22x3 = − 2,

−2x1 − x2 +7x3 = 17.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (14; −8;4),

e2 = (15; −10;0), e3 = (−1;0; −2) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (1; −2;3),e2 = (5;2; −1).

7. Найдите арифметический вектор если

v = −2a−b, a = (1; −1; −3; −2),

b = (1; −2;4;4).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v = (1;2;1; −2) и

w = ( −1;3; −3;4). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

9. Найдите ортогональное дополнение к векторам

a = (3; − 2;5), b = (5;2;1).

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

10. Разложите вектор v = (−22;58) по базису e1 = (3;8), e2 = ( −8;2).

−1

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

3

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 186

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

4x2 − x3 = −15,

5x1 −4x3 = −21,

−5x1 +8x2 − x3 = −6.

2.Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

единственное решение

5x1 +4x2 −2x3 = 7,

−5x1 +4x2 +3x3 = −2,

−3x1 + x2 −7x3 = θ.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

3x1 − x2 +27x3 = 0,

3x1 + x2 +21x3 = −6,

x1 + x2 +5x3 = −4.

5.Являются ли арифметическиe векторы e1 = (8; −8; −10), e2 = (10;0; −15),e3 = (0;6; −3) компланарными? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (0;8;8),

e2 = (0;16;16), e3 = (0; −12; −12), e4 = (0; −4; − 4).

7. Найдите арифметический вектор если

v = 3a +b, a = ( −4; −5;4; −3),

b = (4; −2;1; −2).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v = (−2;1; −5; −1) иw = ( −1; − 4;1;5). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

9. Найдите единичный вектор x, ортогональный векторам a = (5;2;3),

= ( − − ) Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b 2; 4; 5 .

10. Разложите вектор v = (−64;8) по базисуe1 = ( −5;2), e2 = (6;2).

−1

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

2

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 187

1. Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

x1 −4x2 = 5,

−3x1 +20x2 +5x3 = −18,

4x1 +5x3 = 9.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

3x−3z +t = 7,

4y+5z = −11,

4x+3y−z +t = 1,

−x−2y+t = 2.

3.Определите, при каких значениях параметра ω система уравнений имеет единственное решение

−5x1 +7x2 −5x3 = 2,

ωx1 − x2 +2x3 = 16,

x1 −5x2 +4x3 = 4.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

x1 +3x2 −34x3 = −11,

2x1 +3x2 −41x3 = −13,

−x1 − x2 +16x3 = 5.

5.Образует ли система арифметических векторов e1 = (−10; −3;9),

e2 = (0; −1; −2), e3 = (− 2;0;3) базис пространства 3? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−1;1;0),e2 = (0; −2; −8), e3 = (2;0;4), e4 = ( −6;6;6).

7. Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

4a −4b −5x = −3a +2x, если a = (−4;1; −2; −2), b = ( −5; −1;1;5).

8. Найдите косинус угла междувекторами v = (−1;1; −4;1) и

w = ( −4;2;3; −2). Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

9. Найдите вектор x, коллинеарный вектору a = (−4; −3;1) и такой, что

11. Является ли базис e1 = (3; −2), e2 = (2;3), ортогональным? Если да, то разложите вектор v = (1; −1) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 188

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−x1 +2x3 = 11,

3x1 +12x2 −7x3 = 21,

3x2 + x3 = 21.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

2x1 −3x2 + x4 = 19,

3x3 + x4 = 15,

−3x1 +2x2 +5x3 −4x4 = −11,

−2x1 +3x2 +2x3 = −8.

3.Определите, при каких значениях параметра ψ система уравнений несовместна

3x1 +2x2 −6x3 = 4,

5x1 −5x2 −2x3 = ψ,

−7x1 +5x2 +5x3 = −2.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

3x1 +29x2 +2x3 = 32,

2x1 +31x2 +3x3 = 28,

3x1 +8x2 − x3 = 20.

5.Являются ли арифметическиe векторы e1 = (1;0; −2), e2 = (−2;4;0),e3 = (−7;2;6) компланарными? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (4; −3; −2),e2 = (5;2; −3).

7. Найдите арифметический вектор v = 3a −b, если a = ( −6;3; −5;3),

b = (6;1;3;2).

8. Найдите длинувектора v = (2;1;1; −5; −5), координаты которого заданы в некотором ортонормированном базисе.

9. Найдите вектор x, если a = ( −5;2), b = (−5;3) и известно, что (x,a) = 1,

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

(x,b) = 1.

10. Разложите вектор v = (10;22) по базисуe1 = (−1;4), e2 = (8; −1).

2

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

3

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 189

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

5x2 −3x3 = −7,

25x1 +7x2 +3x3 = 8,

5x1 +2x2 = 1.

2.Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

3. Определите, при каких значениях параметра λ система уравнений имеет единственное решение

−20x1 +20x2 +4x3 = −20,

−15x1 +15x2 +3x3 = −15,

−4x1 +3x2 −3x3 = λ.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

5x1 +21x2 +2x3 +12x4 = 36.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = (6;6; −6),

e2 = (3;3; −3), e3 = (2; −3; −4) линейно независимой? Ответ обоснуйте.

6. Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−6;9;0),e2 = (0; −2;2), e3 = ( −4;7; −1).

7. Найдите арифметический вектор v = 2a +b −2c, если a = (6; −2;3),

b = (−3;3;4), c = (−2; −3;4).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v и w, если известно, что

3πv = 13, w = 7 и угол между векторами vи w равен 4 .

9. Найдите вектор x, коллинеарный вектору a = (−2;3; −1) и такой, что

ортонормированном базисе.

10. Разложите вектор v = (−8;16) по базисуe1 = (8; −3), e2 = (8;10).

−2

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

1

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 190

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

9x1 −5x2 = 68,

7x1 −2x2 = 51.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

x+5y−9z = 50,

4x −5y+5z = −32,

−9x+3y+2z = −4.

3.Определите, при каких значениях параметра ξ система уравнений имеет бесконечное число решений

−15x1 +20x2 +7x3 = ξ,

6x1 −12x2 −10x3 = 12,9x1 −18x2 −15x3 = 18.

4. Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

17x1 −6x2 +3x3 + x4 = 15.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = ( −1;3;3),e2 = (−1;0;0), e3 = ( −2;1;0) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−1;3;0),e2 = (5; −15;0), e3 = (2; −6;0), e4 = (−5;15;0).

7. Найдите арифметический вектор v = a +b+3c, если a = (6;5;4),

b = (6; −1; −2), c = (− 3;3;4).

8. Вычислите скалярное произведение векторов v = −5e1 +5e2 +4e3 и

w = 2e1 −2e2 −5e3, где e1, e2, e3 — ортонормированный базис.

9. Найдите вектор x, если a = (1;3), b = ( −1;4) и известно, что (x,a) = −4,

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

(x,b) = −6.

11. Является ли базис e1 = (−3; −2), e2 = (−1; −3), ортогональным? Если да,

то разложите вектор v = (2;3) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 191

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

8x −7y = 5,

9x −7y = 10.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

3. Определите, при каких значениях параметра σ система уравнений

несовместна

−x1 +7x2 +5x3 = −2.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−x1 −25x2 +3x3 = 21.

5.Являются ли арифметическиe векторы e1 = (−10; − 6; −17), e2 = (0;4;2),e3 = (−4;0; −6) компланарными? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−2;5;4),

e2 = (4; −3; −1).

7. Найдите арифметический вектор v = −3a+b +2c, если a = (3;4;5),

b = (1;2;2), c = (2; −1;2).

8. Вычислите скалярное произведение векторов

v = 4e1 −e2 −5e3 +e4 +2e5 −3e6 и w = 3e1 −5e2 −4e3 +e4 +5e5 +6e6, где e1,e2, e3, e4, e5, e6 — ортонормированный базис.

9. Найдите вектор x, если a = ( −2;3), b = (4; −3) и известно, что (x,a) = −4,

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

(x,b) = 4.

11. Является ли базис e1 = (−3;1), e2 = (−1; −3), ортогональным? Если да,

то разложите вектор v = (1;2) по этомубазису. Координаты векторов даны в ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 192

1. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

2. Решите методом Гаусса системулинейных уравнений, записанную в матричной форме:

3. Определите, при каких значениях параметра θ система уравнений имеет единственное решение

8x1 +14x2 −10x3 = 7,

−4x1 +17x2 +9x3 = θ,

12x1 +21x2 −15x3 = 8.

4.Найдите общее и базисное решения системы уравнений:

−6x1 +2x2 +3x3 = −21,

−16x1 +2x2 −2x3 = −16,

−4x1 + x2 + x3 = −10.

5.Является ли система арифметических векторов e1 = ( −7;3;4),

e2 = (−4; −12;0), e3 = (9;0; −6) линейно зависимой? Ответ обоснуйте.

6.Найдите ранг системы арифметических векторов e1 = (−4;6;10),e2 = (6; −9; −15).

7.Найдите арифметический вектор x, удовлетворяющий уравнению

8. Вычислите скалярное произведение векторов v и w, если известно, что

5πv = 12, w = 13 и угол междувекторами v и w равен 6 .

9. Найдите единичный вектор x, ортогональный векторам a = ( −4; −2;2),

Координаты векторов даны в ортонормированном базисе. b = (5; −1; −3).

10. Разложите вектор v = (−63; −13) по базисуe1 = (9;3), e2 = (−9; −1).

−3

разложите вектор v = по этомубазису. Координаты векторов даны в

1

ортонормированном базисе.

ДКР по ЛА для бакалавров экономики, часть № 1, ВАРИАНТ 193

1.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса

−5x1 +6x2 − 3x3 = −37,

−2x2 + x3 = 9,

x1 − x2 = 4.

2.Решите системулинейных уравнений методом Гаусса