1.​ Понятие множества.

Множество-это совокупность элементов, называемых элементами множества.

Пустое множество обозначается зачёркнутым кружком, а U– универсальное множество.

N= {1,2,3,…} – множество натуральных чисел.

Z= {0,+- 1, +-2, +-3,… } – множество целых чисел.

Q= {p/q:p,qцелы,qне= 0} – множество рациональных чисел

R= {все десятичные дроби} – множество вещественных чисел.

2.​ Приведите определение подмножества.

Говорят, что множество А является подмножеством множества S, если каждый его элемент автоматически является элементом множестваS. Обозначают такAcS

3.​ Операции над множествами. Пересечение, объединение множеств.

Пересечением двух множеств AиBназывается множество

A B= {x : x Е A и x Е B}

Оно состоит из элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Объединением двух множеств А и В называется множество

A B= {x : x Е A или x Е B}

Оно состоит из элементов, которые принадлежат либо множеству А, либо множеству В, а возможно и обоим сразу.

4.​ Что такое диаграмма Эйлера—Венна?

Если говорят, что множество А содержится в множестве В, то этот факт иллюстрируют с помощью диаграммы Эйлера-Венна. ( Так же её применяют и в других случаях определения подмножеств)

Наглядное средство для работы со множествами. На этих диаграммах изображаются все возможные варианты пересечения множеств.

5.​ Способы задания множеств.

Имеется два существенно различных способа задания множеств. Можно либо перечислить все элементы множества, либо указать правило для определения того, принадлежит или не принадлежит рассматриваемому множеству любой данный объект. Таким образом, множество можно задать с помощью перечисления или с помощью описания.

При перечислении множества его элементы принято заключать в фигурные скобки: — множество четных чисел, — множество чисел кратных трем. Под многоточием в данных случаях подразумеваются все последующие числа: в первом случае — четные, а во втором — кратные трем.

С другой стороны, для задания (описания) некоторого множества , состоящего из элементов, обладающих свойством , используют запись . Например, и — множество натуральных чисел, меньших 7.

6.​ Булеан. Что позволяет определить булеан?

Множество всех подмножеств данного множества А, обозначается как Р(А).

7.​ Диаграмма Эйлера-Венна. Когда она применяется?

Применяется при решении уравнений алгебры множеств.

8.​ Операции над множествами. Дополнение и симметрическая разность множеств.

Дополнением множества В до множества А называется

А\В={x:xЕА иxнеЕ В}

Дополнение А\В состоит из всех элементов множества А, которые не принадлежат В.

Симметрической разностью двух подмножеств А и В называют множество

А В = {x:AиxнеЕ В} или (xЕ В и неЕ А)

Оно состоит из всех тех и только тех элементов универсального множества, которые либо принадлежат А и не принадлежат В, либо наоборот. Другими словами, симметрическая разность состоит из элементов, лежащих либо в А, либо в В, но не одновременно.

9.​ Законы алгебры множеств.

Законы:

1. Коммутативный:

A ∪B = B∪A A∩B = B∩A

2. Ассоциативный:

A ∪(B∪C) = (A∪B)∪C = A∪B∪C A∩(B∩C) = (A∩B)∩C = A∩B∩С

3. Дистрибутивный:

A ∪ (B ∩ С)= (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ С) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

4. Поглощения:

A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A

5. Идемпотентности:

A ∪ A = A A ∩ A = A

6. Исключенного третьего: Противоречия:

A ∪A = U A∩A =∅

7. A∪∅=AA∩∅=∅

8. A ∪ U = U A ∩ U = A

9.Де Моргана:

A ∪ B = A ∩ B A ∩ B = A ∪ B

10. ∅=UU=∅

11. Двойного отрицания: A=A

12. A \ B =A ∩ B

13. A Δ B =A ∩ B ∪ A ∩ B

10.​ Мощность множества.

Мощностью конечного множества Sназывается число его элементов. Она обозначается символом|S|.

11.​ Понятие упорядоченной пары.

Упорядоченной парой называется запись вида (a,b), гдеa– элемент некоторого множества А, аb– элемент множества В.

12.​ Прямое произведение множеств.

Декартовое произведение или оно же прямое произведение множеств А и В – это множество упорядоченных пар вида (а, b). Обозначается А х В

13.​ Понятие кортежа. Прямое произведение кортежей.

Это упорядоченный набор элементов. Кортеж характеризуется элементами и их порядком расположения. Элементы кортежа называются компонентами. Компоненты нумеруют слева направо. Число компонент определяет длину кортежа. Кортеж обозначается A=< а1, а2, ..., аn>.

14.​ Проекция кортежа на ось.

Проекцией кортежа на i-тую ось называется его i-тая компонента.

Проекция кортежа на заданные оси - есть кортеж, составленный из соответствующих компонент исходных кортежей.

15.​ Понятие отношения.

В математике среди всех упорядоченных пар прямого произведения AxBдвух множеств А и В выделяются некоторые пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые родственные отношения, которых нет у других.

16.​ Область определения и множество значений отношения.

Область определения отношения есть множество первых координат в упорядоченных парах (x,y), а область значений множество отношения множество целых чисел.

17.​ Бинарные отношения.

Бинарным отношением между множествами А и В называется подмножество Rпрямого произведения А х В. В том случае, когда А=В, мы говорим просто об отношенииRна А.

18.​ Способы задания бинарных отношений.

Традиционное задание отношений аналогично тому, как это принято в теории множеств,  что не всегда удобно.  Поэтому, наряду с таким заданием, применяются другие способы:

1. Матричное  задание 2. Задание с помощью графа.

1)          Обратное отношение  .

2)          Дополнение                 .

3)          Тождественные             .

4)     Универсальные