12.4. Прогнозирование с применением временных рядов

12.4.1. В различных областях науки и техники для изучения и прогнозирования случайных процессов широко применяют моделирование временных рядов. Такие ряды характеризуют изменение некоторой случайной переменной процесса во времени.

Сущность метода заключается в том, что если некоторая подобранная функция времени хорошо описывает процесс на большом интервале времени, то она отражает основные закономерности процесса, в том числе на прогнозном интервале.

Одним из условий успешного применения временных рядов является существенное превышение времени наблюдений заблаговременности прогноза. В рыбохозяйственных исследованиях время наблюдений редко превышает 15-20 лет. Это обстоятельство ограничивает применение некоторых методов исследования временных рядов и точность прогнозов, особенно для объектов лова с небольшой продолжительностью жизни.

12.4.2. Временные ряды в общем случае характеризует случайный нестационарный процесс. На практике часто случайный процесс описывают стационарным временным рядом в некотором временном интервале, включая прогнозный. Однако и в этом случае временной ряд является динамическим рядом, т.к. отражает стационарные колебания показателя процесса.

Для анализа динамического ряда каждый его член можно представить в виде детерминированной части плюс случайное отклонение. В этом случае рассматривают детерминированную функцию ряда (модель тренда), которая отражает основные закономерности изменения показателя процесса, и случайную составляющую, обусловленную случайными факторами. Такими факторами в нашем случае могут служить, например, случайные колебания численности и состава запаса под влиянием различных биотических и абиотических факторов. Случайную составляющую иногда рассматривают как случайную ошибку, которая влияет, в частности, на точность прогноза.

Прогнозирование (экстраполяция) временного ряда включает следующие операции:

• установление особенностей временного ряда;

• выбор метода экстраполяции;

• разработку прогностической модели (модели тренда);

• определение прогнозных значений показателя;

• оценку точности прогноза.

Для получения достоверного результата наиболее важно выбрать метод экстраполяции.

При нестабильности рассматриваемого показателя для описания стационарных временных рядов В.К. Бабаян предлагает применять модели авторегрессии, скользящего среднего, метод Бокса-Дженкинса. Последний метод, в частности, использует одновременно и модели авторегрессии и модели скользящего среднего.

Временной ряд описывается моделью авторегрессии порядка , если ряд описан разностным уравнением порядка. Порядок определяет количество членов в детерминированной части разностного уравнения и одновременно порядок зависимости от прошлого.

Временной ряд описывается моделью скользящего среднего порядка , если значения ряда формируются на основе «белого шума». Величинатакже определяет количество членов в модели скользящего среднего.

Наиболее общий метод Бокса-Дженкинса построения модели по данным временного ряда состоит из идентификации модели, оценивания параметров, тестирования адекватности. Для лучшего понимания сущности метода дадим краткую характеристику этапов исследований.

По результатам исследований А.К. Бабаяна, идентификация модели включает:

• визуальный анализ графика временного ряда для выявления «выбросов», «пропусков», структурных изменений: признаков нестационарности типа временных трендов, неоднородности;

• анализ выборочных оценок автокорреляционной функции АКФ и частной автокорреляционной функции ЧАКФ для исследования стационарности анализируемого временного ряда и определения возможных значений его параметров и, которые связаны с моделью авторегрессии порядкаи моделью скользящего среднего порядка;

• проверка гипотез об отсутствии автокорреляционных значений временного ряда для отдельных лагов с помощью асимптотического теста значимости значений АКФ, основанного на нормальном приближении тестовой статистики;

• проверка гипотез об отсутствии автокорреляции значений временного ряда на заданном лаговом диапазоне, включающем несколько лагов.

Для статистического оценивания параметров модели с заданными значениями ииспользуют различные методы - линейный и нелинейный метод наименьших квадратов, полный и условный метод максимального правдоподобия, метод моментов и т.д.

Тестирование адекватности основано на анализе тестовых статистик и статистической поверке гипотез относительно параметров тестируемой модели. Для адекватной модели оценки параметров модели являются статистически значимыми, а остатки построенной модели должны описываться процессом «белого шума», т.е. быть некоррелированными.

Иногда прогнозирование осуществляют несколькими методами, и окончательно метод выбирают после сравнения достоверности оценок различными методами. Прогнозы сравнивают, например, с применением метода ретроспективного анализа и обучающей выборки.

В соответствии с первым методом сравнивают расчетные и эмпирические величины. В соответствии с методом обучающей выборки исходные данные делят на обучающую и контрольную выборку и сравнивают результаты, полученные с применением первой и второй выборки.

Для оценки степени достоверности прогнозов используют различные критерии достоверности. Простейшими из них являются средняя абсолютная ошибка прогноза, средняя относительная ошибка прогноза, средний квадрат ошибки прогноза, дисперсия ошибки прогноза. Обычно для оценки достоверности прогноза используют несколько критериев, чтобы оценить различные свойства модели.

12.4.3. Для нестационарных временных рядов характерно изменение с течением времени вероятностных характеристик - математического ожидания, дисперсии, автоковариационной и автокорреляционной функции.

В наших задачах различают временные ряды, нестационарные по среднему значению и по дисперсии.

Временной ряд является нестационарным по среднему значению, если его математическое ожидание изменяется во времени в соответствии с некоторым детерминированным или вероятностным законом. В этом случае считают, что временной ряд содержит детерминированный или стохастический тренд. Для описания таких временных рядов используют два класса моделей:

• модели временных рядов с детерминированным трендом, т.е. модели с трендом в виде детерминированной функции времени;

• модели интегрированных временных рядов в общем случае в виде модели авторегрессии интегрированного скользящего среднего.

Если дисперсия рассматриваемой переменной также зависит от времени, то ряд называют нестационарным по дисперсии. Такие временные ряды также описывают двумя классами моделей - с условной и безусловной неоднородностью. Эффекты безусловной неоднородности часто смягчают или устраняют путем подходящих функциональных преобразований. Наибольшее значение имеют временные ряды с условной неоднородностью.

Рассмотрим для примера более подробно одну из простых моделей - модель нестационарного временного ряда с детерминированным трендом.

Такую модель можно представить в следующем виде:

,, (12.2)

где - детерминированная функция времениили так называемая функция тренда, заданная с точностью до параметров коэффициентов регрессии;- случайные ошибки наблюдения: описываемые случайным стационарным процессом с нулевым средним значением.

Таким образом, под детерминированным трендом понимают изменение во времени среднего значения временного ряда в соответствии с детерминированным законом в виде функции . Детерминированные тренды выражают основную закономерность (тенденцию) функционирования рассматриваемого процесса.

Построение прогноза на основе модели с детерминированным трендом включает процедуру выделения тренда и проверку модельных предположений относительно случайной ошибки наблюдения на основе анализа остатков.

Наиболее часто функцию считают полиномом степениравным или больше единицы. Тогда модель временного ряда с детерминированным полиномиальным трендом (12.2) принимает вид:

,, (12.3)

Выражение (12.3) можно рассматривать как модель множественной линейной регрессии относительно факторов :

,, (12.4)

При таком виде регрессии для выделения полиномиального тренда применяют линейный метод наименьших квадратов.

Для нелинейных функций тренда, допускающих линеаризацию путем функциональных преобразований, также применяют линейный метод наименьших квадратов по отношению к преобразованному временном ряду. В противном случае используют нелинейный метод наименьших квадратов.

Для анализа адекватности модели используют стандартный набор тестовых статистик для оценки значимости коэффициентов регрессии и адекватности модели в целом; для проверки предположения о том, что остатки являются «белым шумом»; для выбора наиболее экономичной модели. Для оценки адекватности регрессионных моделей наиболее часто применяют традиционные методы анализа:

• дисперсионный анализ регрессионных моделей;

• проверка гипотез о значениях коэффициентов регрессии;

• проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии;

• проверка гипотез об адекватности модели в целом.

12.4.4. Во многих случаях нестационарные временные ряды можно преобразовать в стационарные с помощью метода наименьших квадратов. Такие ряды называют стационарными относительно тренда.

Существует также тип нестационарных временных рядов, которые приводят к стационарному виду путем применения к временному ряду метода последовательного вычисления разностей определенного порядка, т.е. его дифференцированием. Такие временные ряды называют стационарными относительно взятия разностей, или интегрированными временными рядами. Такие ряды входят в широкий класс моделей интегрированных временных рядов, который известен как класс моделей авторегрессии интегрированного скользящего среднего.

12.4.5. Часто модели нестационарного временного ряда с детерминированным трендом, как и другие модели, не соответствуют статистическим данным. В этом случае статистические оценки параметров модели, а, следовательно, и основанные на них прогнозы теряют оптимальные свойства, например, становятся смещенными и неэффективными. Известны методы для оценки наиболее часто встречающихся нарушений модельных предположений и устранения этих нарушений.

12.4.5. Временные ряды можно использовать для прогнозирования многих показателей систем управления ловом, промыслом и рыболовством - запаса, допустимого улова, допустимой интенсивности промысла, пополнения и т.д. Одним из основных условий успешного применения этого метода для прогнозирования является наличие длительных и достоверных данных об исследуемых показателях. Важно, что метод позволяет не только оценить прогнозную величину, но и определить ошибку оценки прогнозной величины.

12.4.6. Прогнозирование состояния запасов и рыболовства, а также решение других задач теории рыболовства с применением временных рядов, имеет большие перспективы. Пока оно сдерживается недостаточной математической подготовкой многих специалистов, работающих в области рыболовства, а также низким качеством необходимого экспериментального и статистического материала.