15.9. Модель формирования постепенных отказов

15.9.1. Прежде всего, рассмотрим общую схему формирования отказа при одном выходном параметре .Такой вариант отказа можно рассматривать и при исследовании работоспособности сложных систем, когда один из выходных параметров имеет преобладающее значение.

Система отказывает, когда параметр достигает предельного значения .На рис. 15.4 показаны основные этапы формирования функции плотности распределения времени безотказной работы. Сначала учитывают рассеивание параметров системыотносительно математического ожидания. Это связано с рассеиванием параметров системы в начале работы, с возможностью работы системы при различных режимах и протекания некоторых процессов в системе со случайными характеристиками. В общем случае процесс изменения параметра происходит не с начала наблюдений, а через некоторый промежуток времени.

Это время также является случайной величиной и связано с началом постепенного неблагоприятного изменения выходного параметра системы . Процесс изменения параметрас некоторой скоростьютакже случаен и зависит от изменений некоторых элементов системы (состава запаса, увеличения размера ячеи, снижения величины улова) или процессов в них.

Процесс изменения параметра во времениописывают с применением динамической модели системы управления рыболовством или по результатам сбора и обработки экспериментального и статистического материала.

Рис. 15.4. Общая схема формирования постепенного отказа

В результате всех изменений формируется закон распределения , который определяет вероятность выхода параметраза границу , т.е. вероятность отказа. Следует отметить, что в общем случае значение также может иметь рассеяние, если оно оценивает диапазон максимально возможных допустимых значений параметра.

Рассмотренная схема описывает процесс возникновения отказа системы в общем случае. Но ее можно использовать при частных значениях входных параметров. Так, обобщенную схему можно использовать для разработки схемы и модели постепенного, внезапного и комбинированного отказа. Эту же схему можно применять, когда задано не максимальное значение выходного параметра , а минимальное или оба граничных значений одновременно. Естественно, что рассмотренную схему можно использовать, когда процесс изменения параметра начинается сразу и, когда параметры системы недостаточно известны или недостаточно известен будущий режим работы системы, когда рассеянием начальных параметров системы можно пренебречь.

Каждый из рассмотренных случаев имеет свои особенности, которые описаны в литературе по надежности.

15.9.2. Для понимания формирования и моделирования постепенного отказа системы управления рыболовством рассмотрим подробнее простой и распространенный случай моделирования отказа. В этом случае изменение параметра системылинейно зависит от скоростиизменения некоторого параметра системы, который характеризует ее состояние. Начальный параметр системыимеет рассеяние относительно среднего значенияс дисперсией, а минимально допустимое значение (рис. 15.5).

С учетом этих предпосылок

. (15.6)

Тогда срок службы элемента системы или самой системы является функцией двух независимых случайных параметров и:

. (15.7)

Рис. 15.5. Схема формирования постепенного отказа при линейном законе изменения параметра системы

Для отыскания закона плотности распределения , который определяет вероятность выхода параметраза границу , имеются общие вероятностные зависимости. Их непосредственное применение приводит к громоздким преобразованиям с использованием двойного интеграла по некоторой области.

Однако если случайные аргументы и распределены по нормальному закону, то параметрдля каждого значения времени распределен по тому же закону с математическим ожиданием

(15.8)

и среднеквадратичным отклонением

. (15.9)

С учетом параметров закона нормального распределения вероятность безотказной работы элемента системы или системы в момент окончания срока службы

. (15.10)

Последнюю формулу можно использовать и в некоторых частных случаях, например, когда и . С дугой стороны, это же выражение можно использовать при нелинейном изменении параметра, т.е. когда математическое ожидание, а иногда и дисперсияявляются функциями времени. Таким образом, для любой закономерности изменения выходного параметра можно записать в общем виде:

. (15.11)

Если изменения выходного параметра системы за исследуемый период времени не происходит, т.е. когда стремиться к нулю, то получим выражение для постоянного значения вероятности безотказной работы:

. (15.12)

Фактически, выражение (15.12) определяет вероятность использования годной или негодной системы, которая либо будет безотказно работать весь рассматриваемый период эксплуатации, либо откажет сразу, если параметры новой системы (системы в начальный период ее эксплуатации) находятся за пределами допустимых значений. Для систем управления рыболовством такое положение возможно, когда начинают эксплуатировать запас непригодный по численности и составу или с большой интенсивностью.

Для систем управления рыболовством характерен также случай, когда рассматриваемый параметр сначала уменьшается плавно, а затем, например, при некотором состоянии запасов резко. В этом случае назначение минимального или максимального значения выходного параметра может иметь формальный характер.

15.9.3. Рассмотренная схема определения вероятности отказа системы позволяет оценить роль отдельных факторов в формировании закона плотности вероятности безотказной работы . В частности, она позволяет определить, в какой степени на вероятность безотказной работы влияет начальная величина выходного параметра, разброс его значений, интенсивность изменения среднего значения выходного параметра или разброс значения выходного параметра в процессе эксплуатации системы.

15.9.4. При определении вероятности безотказной работы, например, в соответствии с методом расчета, рассмотренным в 9.10.2, возможно два варианта.

В соответствии с первым вариантом при заданном сроке службы системы подсчитывают вероятность безотказной работы, которая служит характеристикой работы системы при одном выходном параметре. В этом случае все параметры, определяющие аргумент функции Лапласа, известны. С использованием таблиц этой функции по формуле (9.31) подсчитывают. Такой вариант расчета применяют, когда из каких-то соображений задают допустимый срок службы системы. Срок увязывают со сроком эксплуатации водоема, с планами эксплуатации водоема, известными периодами колебаний запасов с учетом влияния природных факторов, с длительностью жизненного цикла рыб и т.д. Вариант расчета обычно используют при сравнительно невысоких требованиях к надежности системы.

Для систем с высокими требованиями к надежности обычно задают . Необходимо определить срок службы, обеспечивающий заданный уровень безотказности. В этом случае в формулах (15.10)- (15.12) искомым служит значение, которое входит в аргумент функции Лапласа. Аргумент функции Лапласа является квантилем нормального распределения, т.е. тем его значением, которое соответствует заданной его вероятности. Для оценки квантилей нормального распределения существуют таблицы.

Из формулы (15.10), приравняв к аргумент функции, получают квадратное уравнение для определения:

. (15.13)

Чтобы решить задачу, для заданного значения , по таблицам квантилей нормального распределения, находят соответствующее значениеи из последнего уравнения определяют срок службы. Для частного случая, когда, квантильравен 0. Из этого уравнения средний срок службы

_.(15.14)

При значениях члена значительно меньших, чем, что наблюдается при большом рассеянии начальных параметров, и, принимая , получим

. (15.15)

15.9.5. Полученные зависимости позволяют с учетом колебаний показателей работоспособности и условий эксплуатации системы прогнозировать потерю системой работоспособности, определять показатели ее работоспособности. Это возможно, т.к. в формулы входят исходные данные, не зависящие от времени. Особенно обращают внимание на выбор расчетного срока службы системы, т.к. иногда его небольшие изменения существенно отражаются на вероятности безотказной работы системы. Кроме того, важно рассмотреть область высокой надежности системы, если она существует, и оценить условия, которым она соответствует.

15.9.6. При расчетах надежности системы управления рыболовством особенно обращают внимание на качество исходной информации. Если информации о статистических значениях входных величин недостаточно (например, при малой статистической выборке), то необходимо определять доверительные интервалы этих показателей и соответственно увеличивать возможный диапазон изменения их значений. Это приводит к уменьшению расчетного срока службы больше, чем при использовании параметров генеральной совокупности. Действительно, расчетные значения математических ожиданий и дисперсий в формулах при этом необходимо увеличить, чтобы их фактические значения находились в данной области с заданной вероятностью.

15.9.7. Рассмотренные выше модели постепенного изменения выходных параметров системы оценивали вероятность выхода в основном за один предел - или.

Возможны случаи, когда для рассматриваемого параметра существует нижний и верхний пределы. Например, верхний и нижний предел иногда рассматривают, когда таким параметром служит величина запаса, улов на промысловое усилие, прилов рыб непромысловых размеров и т.д. При задании двух пределов необходимость управления системой рыболовства возникает и при слишком малом и при слишком большом значении показателя.

Рассмотрим модели постепенных отказов с двумя пределами. Будем иметь в виду, что закон изменения выходного параметра может быть достаточно сложным и не обязательно монотонно убывающим или монотонно возрастающим. Это обусловлено тем, что изменение выходного параметра является следствием нескольких процессов.

На рис. 15.6,а показана схема формирования отказа при двух пределах и несимметричном допуске. Вероятность безотказной работы системы в данный момент времени численно равна площади под кривойв пределах допуска:

. (15.16)

В частном случае при симметричном допуске (рис. 15.6,б), когда , и, т.е. при увеличении во времени лишь дисперсии процесса без смещения центра группирования поля рассеяния параметров, получим

. (15.17)

Рис. 15.6. Схема формирования постепенного отказа с двумя пределами при несимметричном допуске (а) и симметричном допуске (б)

15.9.8. В некоторых случаях закон изменения выходных параметров может быть сложным, например, со знакопеременным изменением выходного параметра. Однако методика оценки вероятности отказа будет такой же.

В общем же знание функций выходных параметров системы (математического ожидания и дисперсии) служит основой построения модели постепенного отказа.