9.4. Особенности применения дисперсионного, корреляционного и регрессионного анализа, методов планирования экспериментов

9.4.1. Экспериментально-статистические методы включают выбор вида эксперимента, предварительную оценку вида уравнений связи между переменными, планирование экспериментов, определение коэффициентов регрессии, статистический анализ результатов и т.д.

Методы основаны на использовании, прежде всего, дисперсионного, корреляционного и регрессионного анализа, методов математического планирования экспериментов. Эти методы подробно описаны в литературе и здесь рассмотрены лишь некоторые особенности их применения в теории рыболовства.

9.4.2. Дисперсионный анализ служит для оценки силы и достоверности влияния одного или нескольких факторов на результирующий показатель, выбора наиболее важных факторов и оценки их влияния.

В общем, суть дисперсионного анализа состоит в делении общих колебаний рассматриваемого показателя на составляющие. Каждая составляющая характеризует влияние того или иного фактора на результирующий показатель. Наиболее часто общую дисперсию случайной величины рассматривают состоящей из дисперсий, вызванных неслучайными и случайными факторами, независимыми один от другого.

При дисперсионном анализе наблюдаемые величины обычно должны быть распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией.

Когда изучают влияние одного фактора, дисперсионный анализ называется однофакторным, нескольких факторов - многофакторным.

Рассмотрим на примере особенности постановки и решения задачи при однофакторном анализе.

Пусть известны независимых нормально распределенных случайных величин, которые соответствуют распределению улововорудий лова.

Каждое орудие лова проработало периодов времени и по каждому из орудий лова получена величина улова. Соответственно матрица уловов содержитзначений улова.

По полученным данным можно определить среднее значение улова для каждого из орудий лова (внутригрупповые средние) и среднее значение уловов всех орудий лова (межгрупповое среднее).

Далее по известным формулам определяют внутригрупповую дисперсию и межгрупповую дисперсию. После этого рассматривают отношение межгрупповой дисперсии к внутригрупповой как эмпирическое значение критерия Фишера. Это отношение сравнивают с критическим значением критерия Фишера для заданного числа степеней свободы и заданной доверительной вероятности. В результате сравнения устанавливают, принимается или не принимается нулевая гипотеза. В нашем случае, если нулевая гипотеза принимается, то орудия лова несущественно отличаются по улову.

Примерно так же проводят многофакторный дисперсионный анализ, однако процедура расчетов существенно усложняется.

Область применение дисперсионного анализа рассмотрена в 1.7. В этой главе дисперсионный анализ использован для оценки возможности объединения экспериментального и статистического материала и оценки возможной и целесообразной точности оценки показателей рыболовства.

9.4.3. Корреляционный анализ применяют для исследования вероятностной зависимости между двумя или несколькими случайными величинами.

Для понимания сущности корреляционного анализа важно учитывать следующее. Статистические связи между величинами (признаками) зависят от функциональной составляющей, которая учитывает жесткую зависимость между переменными величинами и случайной, связанной с влиянием случайных факторов.

Корреляционный анализ устанавливает и оценивает силу стохастической связи между случайными переменными.

Полную информацию о вероятностной связи двух случайных величин содержит функция совместной плотности распределения и условной плотности распределения при условии задания конкретных значений одной из случайных величин. При независимых случайных величинах совместная плотность распределения равна произведению плотностей распределения случайных величини:

. (9.4)

Основными характеристиками вероятностной зависимости между случайными величинами является корреляционная диаграмма, коэффициент корреляции и корреляционное отношение.

Корреляционная диаграмма представляет собой графическую зависимость в координатных осях двух исследуемых величин с нанесенными экспериментальными точками. Такая диаграмма дает наглядное представление о разбросе экспериментальных точек, характере зависимости между величинами. При высокой корреляции поле корреляции вытянуто вдоль линии. При слабой корреляции точки разбросаны случайно. Диаграмма также позволяет установить аномальные точки, разделить экспериментальные точки на группы, например, в зависимости от времени и места лова, объекта лова, его размерных групп и т.д.

Коэффициент корреляции служит для оценки зависимости между случайными величинами при линейной связи между ними. В общем случае коэффициент корреляции

, (9.5)

где и- средние значения случайных величин.

Значения коэффициента корреляции, равные 1 и -1, свидетельствуют о функциональной зависимости, а значение 0 - об отсутствии связи между случайными величинами, об их независимости.

Корреляционное отношение - это математическое ожидание произведения центрированных случайных величин.

Для случайных непрерывных величин корреляционное отношение

, (9.6)

где и- математические ожидания величини.

В отличие от коэффициента корреляции корреляционное отношение характеризует степень не только линейных, но и нелинейных связей между случайными величинами. Кроме того, оно характеризует рассеяние случайных величин. Если случайные величины независимы, то корреляционное отношение равно нулю. Если хотя бы одна из случайных величин имеет малое рассеяние, то корреляционное отношение имеет малое значение даже при тесной зависимости между случайными величинами.

При корреляционном анализе, кроме построения корреляционных диаграмм, оценки коэффициента корреляции и корреляционного отношения, иногда определяют также другие показатели:

• ошибку коэффициента корреляции и корреляционного отношения;

• достоверность выборочного коэффициента корреляции;

• доверительные границы коэффициента корреляции и корреляционного отношения;

• критерий нелинейной связи случайных величин.

Кроме парного корреляционного анализа в теории рыболовства применяют также многомерный корреляционный анализ, когда рассматривают систему из более двух случайных величин. Линейные связи между каждой парой системы устанавливают рассмотренными выше парными коэффициентами корреляции.

Совокупность парных коэффициентов корреляции дает некоторую информацию о силе связи, между всеми случайных величин и одним из них. Однако часто существуют и другие связи между этими величинами, которые влияют на взаимосвязь рассматриваемых величин. Вот почему корреляционный анализ может включать определение частного и множественного коэффициента корреляции.

Частный коэффициент корреляции служит мерой связи между двумя случайными величинами (признаками) системы величин, когда влияние остальных величин не учитывают. Множественный коэффициент корреляции определяет корреляционную связь одной из случайных величин системы со всеми остальными величинами этой системы.

9.4.4. В общем случае регрессией называется изменение функции при определенных изменениях одного или нескольких аргументов. В случайных процессах регрессия связывает случайную величину с неслучайной величиной.Если величинаслучайна, то линия регрессии является зависимостью математического ожиданияэтой величины от.Линия регрессии может быть эмпирической, построенной по экспериментальным точкам, и теоретической, которую устанавливают с учетом физической и биологической сущности взаимосвязи величин. Различают также прямолинейную и криволинейную регрессию, простую (при одном аргументе) и множественную (при нескольких аргументах).

При регрессионном анализе должны точно или приближенно соблюдаться следующие требования:

• результаты измерений случайной величиныявляются выборкой из нормально распределенной генеральной совокупности значений;

• дисперсия случайной величины для любого значения независимой переменнойодинакова;

• независимая переменная имеет малую ошибку по сравнению с ошибками результатов измерений;

• вид функциональной зависимости среднего значения случайной величиныпредварительно устанавливают либо из теоретических или практических соображений, либо выбирают в виде полинома.

В рыбохозяйственных исследованиях эти требования не всегда соблюдаются. Особенно часто отсутствует предварительная оценка взаимосвязи между рассматриваемыми величинами. Иногда ее без достаточных оснований принимают линейной, особенно при ограниченном интервале изменения переменных в экспериментах. Однако, в теории рыболовства во многих случаях вид уравнений связи известен и, как показано выше, в основном соответствует линейному, экспоненциальному, логистическому, нормальному законам распределения, бета-распределению.

Знание функциональной зависимости между переменными значительно облегчает выбор вида эксперимента, сокращает объем необходимых экспериментов и статистических данных. Главное, знание функциональной зависимости в большой степени способствует обобщению таких данных, в т.ч. полученных для различных видов рыб, в различных пространственно- временных границах.

Для построения эмпирической линии регрессии составляют эмпирический ряд регрессии. Она имеет вид таблицы с делением первичного материала на группы с учетом градаций аргумента и функции. Для выявления основных закономерностей связи функции аргумента, нарушенных случайными причинами, эмпирические ряды выравнивают. К общим способам выравнивания эмпирических рядов относятся графический способ, способ скользящей средней и способ наименьших квадратов.

Коэффициенты уравнения регрессии обычно вычисляют методом наименьших квадратов, как наиболее общим аналитическим способом выравнивая эмпирических рядов регрессии. При линейной регрессии зависимость функции от аргумента можно выразить одним числом - коэффициентом регрессии. Он показывает, в каком направлении и насколько изменяется функция при увеличении аргумента на единицу измерения.

Регрессионный анализ полученного уравнения сводится к оценке значимости коэффициентов уравнения и проверке его адекватности. Значимость коэффициентов уравнения регрессии оценивают по критерию Стьюдента. Незначимые коэффициенты из уравнения регрессии исключают, а оставшиеся коэффициенты пересчитывают заново.

Адекватность уравнения проверяют по критерию Фишера, с помощью дисперсионного анализа, коэффициента множественной регрессии и т.д.

К сожалению, последние два этапа при разработке математических моделей управления рыболовством часто не проводят, что снижает достоверность получаемых моделей.

Характерным примером регрессионных моделей в теории рыболовства служат продукционные модели, построенные по результатам обобщения многолетних данных об уловах, уловах на усилие, величине усилия для определенного объекта лова и т.д.

Регрессионный анализ применяют также для установления связи между запасом и пополнением, массой или возрастом и длиной рыбы, длиной и обхватом рыбы, при построении кривой селективности по экспериментальным данным и т.д.

9.4.5. Методы планирования экспериментов в общем случае служат для минимизации числа необходимых экспериментов, для оценки всех или некоторых параметров процесса или их функций, для проверки гипотез об этих параметрах.

Уменьшение числа экспериментов и наблюдений возможно путем их отбора по некоторому признаку, снижения числа переменных, выбора интервалов между испытаниями, порядка проведения испытаний, применения более совершенных методов обработки и анализа данных и т.д.

Для оценки параметров процесса или их функций применяют обычно рассмотренные выше методы дисперсионного и корреляционного анализа, симплексные методы, метод группового учета аргументов и т.д.

9.4.6. Кроме экспериментально-статистических методов для разработки формальных статистических моделей теории рыболовства можно использовать и другие методы. Одним из них является метод построения булевых моделей, основанный на сочетании положений факторного анализа и идей алгебры логики. Метод можно использовать, например, для оперативного обследования популяции рыб в режиме нормальной эксплуатации и предварительного анализа влияния различных факторов на ход процесса управления запасами. Метод особенно пригоден, когда применение экспериментально-статистических способов затруднено из недостатка, плохого качества или сложности обработки информации.

Для разработки моделей процессов управления запасами полезны методы адаптации, основанные на итерационных процедурах. Алгоритм адаптации в этом случае используют, в частности, для определения коэффициентов регрессии методом стохастической аппроксимации при дрейфе некоторых показателей процесса.