17.1 Обобщенные скорости

В качестве обобщенных координат можно выбрать величины, имеющие любой геометрический смысл и размерность: отрезки прямых, дуг; углы; площади; объемы и т.д.

Система, имеющая s степеней свободы, будет иметь s обобщенных координат:

.

Так как эти координаты независимы, то независимы и их приращения:

.

При движении системы ее независимые координаты изменяются со временем. Возьмем от них производные по времени - это обобщенные скорости системы:

.

Размерность обобщенных скоростей определяется размерностью соответствующих обобщенных координат:

- линейная скорость;

- угловая скорость;

- секторная скорость.

Понятие обобщенной скорости охватывает все виды скоростей.

17.2 Обобщенные силы

Пусть на систему, состоящую из n материальных точек, имеющую s степеней свободы действуют силы . Ее положение определяется s обобщенными координатами . Сообщим системе такое возможное перемещение, при котором только i-я координата получит перемещение , а остальные координаты не изменятся. Сумма работ всех действующих на этом перемещении сил равна:

,

где - обобщенная сила соответствующая обобщенной координате .

Если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором одновременно изменятся все s обобщенных координат, то сумма элементарных работ на этом перемещении равна:

.

Это полная элементарная работа всех действующих на систему сил в обобщенных координатах.

Обобщенные силы - это величины равные коэффициентам при приращениях обобщенных координат в выражении полной работы действующих на систему сил.

Размерность обобщенной силы определяется размерностью обобщенной координаты:

; .

- сила;

- момент силы (пары сил);

- давление.

Порядок вычисления обобщенной силы:

• установить число степеней свободы системы;

• выбрать обобщенные координаты;

• изобразить все активные силы, включая силу трения;

• сообщить системе возможное перемещение, при котором изменится только координата, получая положительное перемещение ;

• вычислить сумму элементарных работ всех сил на этом перемещении;

• определить обобщенную силу , соответствующую обобщенной координате : .

17.3 Уравнения Лагранжа (второго рода)

Уравнения Лагранжа - это дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, имеющие следующий вид:

;

;

.........................................

,

где - кинетическая энергия системы.

Преимущества уравнений Лагранжа:

• дают единый метод решения задач динамики;

• число уравнений Лагранжа определяется только числом степеней свободы системы и не зависит от числа точек системы и характера их движения;

• при идеальных связях в правые части входят обобщенные активные силы, то есть из рассмотрения исключены реакции связей.

Алгоритм составления уравнений Лагранжа:

• установить число степеней свободы системы;

• выбрать обобщенные координаты;

• изобразить систему в произвольном положении и приложить все активные силы, включая силу трения;

• определить обобщенные силы;

• определить кинетическую энергию систему в ее абсолютном движении;

• выразить кинетическую энергию через обобщенные координаты и обобщенные скорости ;

• определить частные производные и и подставить их в уравнения Лагранжа;

• если заданы действующие силы и начальные условия, то, интегрируя уравнения, находим закон движения системы в виде:

• ;

• если задан закон движения, то определяем действующие силы.