12.2 Механическая система

12.2.1 Механической системой называется такая совокупность материальных точек или тел, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных.

Все действующие на механическую систему силы делятся на внутренние (interior) и внешние (exterior). - силы взаимодействия точек (тел) системы. - силы действующие на точки (тела) системы со стороны других систем (тел).

С войства внутренних сил:

• геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равен нулю, т.е. ;

• сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равен нулю, т.е. ;

• внутренние силы системы взаимно не уравновешиваются, так как приложены к разным точкам;

• в общем случае отдельные части системы могут перемещаться относительно друг друга;

• у абсолютно твердых тел вся совокупность внутренних сил взаимно уравновешена.

12.2.2 Масса системы. Центр масс

Движение систем зависит не только от действующих на нее сил, но и от ее суммарной массы и ее распределения в системе. Распределение массы в системе характеризуется:

• координатами центра масс;

• осевыми моментами инерции;

• центробежными моментами инерции;

• моментами инерции относительно плоскости.

Точка С, координаты которой определяются следующими выражениями, называется центром масс (центром инерции):

12.2.3 Моментом инерции точки К относительно оси Z называют положительную величину равную произведению массы точки на квадрат ее расстояния до оси :

, .

Моментом инерции механической системы (тела) относительно оси Z (осевым моментом инерции) называется положительная величина равная сумме моментов инерции всех ее точек относительно этой оси:

.

О севой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении, поэтому его называют вращательной массой.

В декартовой системе координат

;

В случае сплошной среды

.

Вводят характеристику, не зависящую от формы тела, - радиус инерции ρ. Радиус инерции - это расстояние от оси Z до такой точки, в которую следует поместить всю массу тела M, чтобы момент инерции этой точки равнялся моменту инерции тела относительно этой оси.

.

1 2.2.3 Моменты инерции некоторых однородных тел:

Момент инерции тонкого однородного стержня длиной l, массой m относительно оси Z перпендикулярной ему и проходящей через центр масс .
Момент инерции тонкого однородного стержня длиной l, массой m относительно оси Z перпендикулярной ему и проходящей через центр масс .
Момент инерции сплошного однородного диска (сплошного цилиндра) относительно его оси симметрии .
Момент инерции тонкого однородного кольца (полого цилиндра) относительно оси симметрии
Момент инерции прямоугольной сплошной тонкой пластины
Момент инерции сплошного конуса (круглого) относительно оси симметрии .
Момент инерции сплошного шара относительно оси проходящей через его центр .
Момент инерции однородного кольца относительно оси проходящей через его центр в плоскости кольца
Z Момент инерции сплошного однородного диска относительно оси проходящей через его центр в плоскости диска

12.2.4 Теорема Гюйгенса: Момент инерции тела относительно данной оси OZ равен моменту инерции относительной оси ей параллельной и проходящей через центр масс CZ' плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

- момент инерции тела относительно оси проходящей через центр масс всегда наименьший.

1 2.2.5 Центробежные моменты инерции равны:

;

;

.