• 14.2 Момент количества движения (кинетический момент)

1 4.2.1 Моментом количества движения (кинетическим моментом) точки А относительно центра О называется вектор

равный векторному произведению радиуса вектора и вектора количества движения точки А

;

.

Кинетическим моментом относительно оси проходящей через очку О называется проекция кинетического момента относительно точки О на эту ось

.

Теоремы 1, 2 об изменении кинетического момента точки: Производная по времени от кинетического момента точки, взятого относительно какого либо центра О (оси OZ), равна геометрической (алгебраической) сумме моментов действующих на эту точку сил относительно центра О (оси OZ).

1) ;

2) .

Следствия 1, 2:

• Если , то ;

2) Если , то .

14.2.2 Кинетическим моментом системы относительно центра О называется векторная величина равная геометрической сумме моментов количества движения всех точек системы относительно этого центра

.

Кинетическим моментом системы относительно оси Z называется алгебраическая сумма кинетических моментов всех его точек относительно этой оси

Кинетический момент характеризует вращательную часть движения системы.

Теоремы 3, 4 об изменении кинетического момента системы: Производная по времени от кинетического момента системы относительно неподвижного центра (оси) равна геометрической (алгебраической) сумме моментов всех внешних сил действующих на систему относительно этого центра (оси).

3) ;

4) .

Для тела вращающегося вокруг оси Z

/

Если , то

.

Если вращается твердое тело , то

.

14.2.3 Закон сохранения кинетического момента: Если сумма моментов всех внешних сил приложенных к системе относительно центра (оси) равна нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра (оси) постоянен.

4. Если , то .

5. Если , то .

Для тела вращающегося вокруг оси Z

.

Т о есть, если действием внутренних сил удается изменить момент инерции системы (например, увеличить его в несколько раз), то угловая скорость изменится (уменьшится во столько же раз). Закон используется в технике (например, в регуляторе Уатта), фигуристами, танцорами и т.д. Закон может быть продемонстрирован с помощью «скамьи Жуковского».

Регулятор Уатта Фигуристка Балерина «Скамья

Жуковского»

14.3 Уравнение вращательного движения твердого тела

Из теоремы об изменении кинетического момента тела

.

Это дифференциальное уравнение вращательного движения тела.

Частные случаи

• Для твердого тела . Если , то

, то есть, тело вращается равнопеременно (равноускоренно или равнозамедленно).

• Если , то , то есть, тело вращается равномерно.

Физическим маятником называется твердое тело, которое совершает колебания вокруг горизонтальной неподвижной оси под действием силы тяжести.

У равнение вращения маятника вокруг горизонтальной оси подвеса проходящей через точку О:

.

Обозначим

.

Это уравнение движения маятника не интегрируется. При малых углах φ , тогда уравнение движения маятника

.

Это уравнение свободных малых колебаний маятника, его решение имеет вид

.

То есть малые колебания маятника являются гармоническими с периодом

.

При значениях угла до 20-25 ошибка определения по этому выражению периода колебаний физического маятника не превышает 1%.

Математическим маятником называется материальная точка весом Р подвешенная на нерастяжимой нити длиной l.

Период колебаний математического маятника равен

.

Экспериментальное определение моментов и радиуса инерции

Формулы для определения периода Т_Ф колебаний физического маятника используют для определения моментов инерции тел неправильной формы. При этом возможны два случая:

6. Ось OZ, относительно которой определяют момент инерции, не проходит через центр тяжести тела. Ось OZ располагают горизонтально. В этом случае тело представляет собой физический маятник, период которого равен:

Тело раскачивают и экспериментально определяют его период колебаний. Положение центра тяжести С также определяют экспериментально методом взвешивания или подвешивания, определяют расстояние . Вес тела определяют взвешиванием.

6. Ось OX, относительно которой определяют момент инерции, проходит через центр тяжести С.

Ось OX располагают горизонтально, подвешивая тело на жестких стержнях. Раскачивают тело и как в первом случае определяют момент инерции тела относительно оси АВ//OX по формуле:

.

По теореме Гюйгенса

Так как , то радиус инерции тела равен:

.