9.4 Вопросы для самоконтроля

• Сформулируйте законы Ньютона.

• В чем состоит первая и вторая (основная) задача динамики?

• Какие системы единиц используются для решения задач динамики? Как строятся эти системы?

• Что называют дифференциальным уравнением движения материальной точки?

• Как составляются уравнения движения в прямоугольных декартовых координатах?

• Как составляются уравнения движения в проекциях на оси естественного трехгранника?

• Запишите дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки.

• К чему сводится решение основной задачи динамики?

• Каков порядок составления дифференциального уравнения движения точки?

• Как решаются дифференциальные уравнения движения точки?

ЛЕКЦИЯ №10

10.1 Гармонические колебания точки под действием восстанавливающей силы

Рассмотрим колебания точки по прямой ОХ.

П усть точка М движется под действием одной силы

, которая всегда направлена по прямой к неподвижному центру О и пропорциональна расстоянию до этого центра, то есть . Эту силу называют восстанавливающей.

Пример восстанавливающей силы – сила упругости, тогда с – коэффициент упругости,

.

Уравнение движения точки М:

или .

Обозначим , тогда

- уравнение свободных гармонических колебаний точки М в отсутствие сопротивление среды. Это - дифференциальное линейное однородное уравнение второго порядка, решение которого определяет закон свободных гармонических колебаний [1]:

,

где A – амплитуда колебаний – максимальное отклонение точки М от точки О – центра колебаний, [А]=1м;

α – начальная фаза колебаний, [α] = 1рад.;

- фаза колебаний;

k - круговая частота колебаний, [k]=1рад/с.

Промежуток времени, в течение которого точка М совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний Т.

.

Найдем значения А и α. Начальные условия:

при

.

Поделив ,получим

Из полученных выражений следует, что амплитуда колебаний А и начальная фаза α зависят от начальных условий .

Свойства свободных гармонических колебаний:

• график движения точки, совершающей гармонические колебания, имеет вид

• А мплитуда а и начальная фаза α зависят от начальных условий;

• частота колебаний k (период Т) от начальных условий не зависят, это характеристики данной колебательной системы (например, зависят от жесткости пружины с);

• если помимо восстанавливающей силы на точку действует постоянная сила , то сила не изменяет характер колебаний, но смещает центр колебаний в сторону действия этой силы на величину статического отклонения

, откуда период таких колебаний равен

.

При решении задач встречаются случаи, когда колебательная система состоит из нескольких упругих элементов соединенных тем или иным способом. При этом жесткость эквивалентной пружины определяются следующим образом:

а) b) c)

1. параллельное соединение упругих элементов

с = с₁+ с_2;

2. последовательное соединение упругих элементов

;

c) груз размещен между упругими элементами

с = с₁+ с₂.