После времени года, развитие предприятия должно осуществляться по кривой потребности.

Если , то управление (инвестиции в ОПФ) должно быть и минимальное время выхода организации на потребность при принятых исходных данных равно года.

4.3. Оптимальное распределение ресурсов между предприятиями

Постановка задачи. Предположим, что руководство организации ставит задачу оптимально распределить некоторый установленный фонд капитальных вложений между предприятиями (подразделениями) организации так, чтобы максимизировать совокупную эффективность капитальных вложений.

Эффективность может измеряться различными показателями. Пусть некоторая функция отражает увеличение выпуска продукции на i-м предприятии за счет реализации на нем капитальных вложений в объеме . Показатель является критерием эффективности капитальных вложений.

Обозначим количество предприятий данной организации через n, а заданный фонд капитальных вложений через , при этом в оптимальном плане весь фонд капитальных вложений должен быть полностью реализован.

Предположим, что все функции возрастающие, , то есть эффективность реализации капитальных вложений возрастает с увеличением их объема.

Математическая модель распределения капитальных вложений между предприятиями имеет следующий вид:

(4.38)

В общем случае (если функции – нелинейные) математическая модель (4.38) представляет собой нелинейную задачу математического программирования.

Для решения оптимизационной задачи воспользуемся методом динамического программирования р. Беллмана [7, 17]. Для этого сведем ее к многошаговому управляемому процессу.

Введем обозначения:

(4.39)

Модель (4.38) с учетом обозначений (4.39) примет вид:

(4.40)

Введем функцию , которую определим следующим образом

(4.41)

при этом

(4.42)

Освободимся от ограничения (4.42), введя в целевой функционал штрафной терминальный член

(4.43)

где – произвольно большое число.

Тогда окончательная форма нашей математической модели примет следующий вид:

(4.44)

Для модели (4.44) запишем уравнение Р. Беллмана с краевым условием [7]:

(4.45)

где – оптимальное управление в форме синтеза.

Решение задачи. Положим , млн руб.

Запишем функции эффективности

(4.46)

С учетом обозначений (4.39) для получим

(4.47)

Итерация 1.

В соответствии с (4.45) и (4.47) имеем

(4.48)

Так как – произвольное сколь угодно большое число, максимум в фигурных скобках (4.48) достигается, если множитель при М обратить в нуль, то есть

(4.49)

При этом

Итерация 2.

В соответствии с (4.45) и (4.47) имеем

(4.50)

где многоточие относится ко всем остальным слагаемым, не зависящим от аргумента максимизации , то есть .

Анализируя выражение (4.50) в фигурных скобках, приходим к выводу, что если , то максимум будет при . Если , то максимум будет определяться следующим образом

Найдем экстремум этой функции

откуда

то есть получаем

(4.51)

В результате получаем следующее оптимальное распределение между двумя предприятиями капитальных вложений:

(4.52)

Выводы: оптимальное распределение 40 млн руб. капитальных вложений между двумя предприятиями при критериях эффективности (4.46) будет следующим: млн руб., млн руб.