Примеры аналитического проектирования организационных систем

4.1. Планирование оптимального развития основных фондов предприятия

Постановка задачи. Обозначим через величину основных производственных фондов (ОПФ) предприятия в году t. В процессе воспроизводства ОПФ их количество будет расти за счет капитальных вложений , а уменьшаться за счет физического и морального износа. Величина выбытия ОПФ в году t равна , с коэффициентом ежегодного выбывания ОПФ, равным .

Тогда уравнение материального баланса ОПФ будет иметь вид [7]:

(4.1)

где T – горизонт планирования, – параметр модели, – время освоения капитальных вложений .

Начальное значение ОПФ будем считать заданным

(4.2)

Следовательно, описывает состояние процесса развития ОПФ, а функцию будем считать управлением.

Критерий оптимальности процесса развития материально-технической базы фирмы можно задать следующим функционалом:

(4.3)

где – весовые коэффициенты

Ставится следующая оптимизационная задача: среди всех допустимых управлений найти такое, чтобы функционал (4.3) достигал наименьшего значения с учетом связей (4.1), (4.2).

Для решения этой задачи воспользуемся методом – принципом максимума Л.С. Понтрягина [7, 17, 19].

Введем функцию Гамильтона

(4.4)

где – множитель Лагранжа, который определяется из сопряженной системы

(4.5)

(4.6)

Так как на управление ограничения отсутствуют, оптимальное управление можно определить из условия:

(4.7)

Таким образом, в рассматриваемой задаче оптимальное управление зависит лишь от множителя Лагранжа . В экономических задачах получение управления в виде программы соответствует планам на длительную перспективу.

Для получения уравнения оптимальной траектории развития ОПФ фирмы, подставим в (4.1) оптимальное управление (4.7) и с учетом сопряженной системы (4.5) получим

(4.8)

Замкнутая система (4.8) представляет собой двухточечную краевую задачу, так как для задано начальное условие при , равное , а для – конечное условие при , равное .

Однако эту задачу можно разрешить аналитическим путем, так как второе уравнение системы (4.8) содержит только и может быть проинтегрировано независимо от первого уравнения. Интегрируя его, получим

(4.9)

где – постоянная интегрирования, которая определяется из условия

откуда получим

(4.10)

Теперь подставим решение (4.10) в первое уравнение (4.8), получим дифференциальное уравнение относительно

(4.11)

Решение задачи. Положим 1/лет, млн руб., 1/лет, лет.

Общее решение уравнения (4.11) имеет вид

(4.12)

где – постоянная интегрирования, которая определяется из начальных условий при :

откуда получаем

(4.13)

а оптимальное управление будет иметь вид

(4.14)

Подставим численные значения параметров в (4.13) и (4.14), тогда получим:

(4.15)

(4.16)

Произведем вычисления в интервале от 0 до 10 и сведем их в табл. 4.1.

Таблица 4.1

t, лет	0	2	4	6	8	10
, млн. руб.	20	24,5	29	34	39	44,4
, млн. руб./год	3	3,26	3,54	3,83	4,15	4,5

Построим графические зависимости оптимальных ОПФ и капитальных инвестиционных вложений на плановый период лет (см. табл.).

млн руб.

млн руб./год

40

30

20

10

0 лет

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Рис. 4.1

Для оптимального развития материально-технической базы фирмы необходимо спланировать инвестиционные вложения в размере 4,5 млн руб. с ежегодным вложением по плану (4.16) в размере, указанном в табл. 4.1.