3.2.8. Оптимизационные методы решения задач аналитического
проектирования для одноуровневых, одноцелевых подсистем
Декомпозиция проблемы аналитического проектирования сложных организационных систем на ряд частных задач аналитического проектирования осуществляется путем построения морфологической структуры сложной системы. Этот метод формирует ее как многоуровневую иерархическую структуру, состоящую из двухуровневых блоков с одно- или многокритериальными, многорежимными и многовариантными подсистемами, имеющими на верхнем уровне только одну целевую подсистему. Каждый такой блок имеет вполне обозримую математическую модель, позволяющую осуществить аналитическое проектирование каждого блока в отдельности, а взаимосвязи между блоками обеспечивают достижение главных целей.
В качестве подходов к решению оптимальных задач для однокритериальных, одноуровневых подсистем можно использовать известные методы, основанные на принципе максимума, методе Лурье – Риккати и динамическом программировании.
Рассмотрим более подробно некоторые из указанных методов.
Принцип максимума Л.С. Понтрягина. Пусть процесс описывается системой дифференциальных уравнений:
(3.94)
где
,
t
– время,
– фазовые координаты,
– управления,
– дважды непрерывно дифференцируемые
функции своих аргументов.
Управление
– кусочно-непрерывная вектор-функция
с конечным числом точек разрыва,
принимающая свои значения из некоторой
области
,
т.е. u
.
Область
замкнута или открыта. Управления,
удовлетворяющие этим условиям, будем
называть допустимыми.
Кроме начального состояния и уравнений управляемого процесса (3.94), заданы конечные состояния некоторых фазовых координат
(3.95)
Вариационная задача: требуется найти такое допустимое управление u процессом (3.94), чтобы функционал
,
(3.96)
где
– заданные положительные постоянные,
принимал наименьшее значение.
Управление, обеспечивающее решение поставленной задачи и соответствующий ему процесс, будем называть оптимальными.
Для формулировки необходимого условия оптимальности в виде принципа максимума введем функцию Гамильтона
,
(3.97)
сопряженную систему дифференциальных уравнений
(3.98)
и конечные условия
(3.99)
Управление
u
удовлетворяет
условию максимума, если достигается
(3.100)
при фиксированном
t
и
.
Принцип
максимума [19].
Для того, чтобы допустимое управление
u
,
переводящее процесс, описываемый
системой (3.93), из состояния
,
при
в состояние
,
за заданное время Т,
и соответствующий ему процесс были
оптимальными, необходимо существование
ненулевых решений
системы (3.98) и выполнение условий
максимума (3.100) при каждом фиксированном
t
и y
удовлетворяющих уравнениям (3.93) –
(3.99).
Теперь рассмотрим
задачу максимального быстродействия.
Пусть управляемый процесс описывается
системой (3.93). Время Т
не фиксировано. В конечный момент
фазовые координаты удовлетворяют
уравнению
(3.101)
где функция (3.101)
имеет непрерывные частные производные
по аргументам y,
T.
Частные производные по
одновременно нигде в нуль не обращаются.
Вариационная задача на максимальное быстродействие: требуется найти такое допустимое управление процессом, описываемым соотношениями (3.93), чтобы время достижения условия (3.101) принимало наименьшее значение.
Решение поставленной задачи и соответствующее ему управление назовем оптимальными по быстродействию.
Для решения задачи
оптимального быстродействия введем
функцию Гамильтона Н
(3.97), сопряженную систему (3.98) и
дополнительную функцию
удовлетворяющую соотношению
(3.102)