1.Поле у поверхности проводника.

Н апряженность поля непосредственно у поверхности проводника связана с локальной плотностью заряда на поверхности. Эту связь можно легко установить с помощью теоремы Гаусса. Возьмем участок поверхности проводника, граничащий с вакуумом, рис.3.4.

Линии перпендикулярны поверхности, поэтому в качестве замкнутой поверхности возьмем небольшой цилиндр, перпендикулярный поверхности. Тогда поток вектора через поверхность цилиндра будет равен только потоку через его верхнее основание, т.к. поток через боковую поверхность равен нулю из-за того, что касательная составляющая равна нулю, а поток через нижнее основание равен нулю т.к., поле проводника равно нулю.

Таким образом, , где - проекция вектора на внешнюю нормаль по отношению к проводнику, - площадь основания цилиндра, - локальная поверхностная плотность заряда. Значит,

Из этой формулы, однако, не следует, что определяется только локальной плотностью заряда , в принципе, определяется всеми зарядами системы.

2.Циркуляция и ротор электростатического поля.

Циркуляция вектора является интегральной характеристикой поля. Она обладает свойством аддитивности: сумма циркуляций по контурам Г₁ и Г₂, ограничивающим смежные поверхности S₁ и S₂, равна циркуляции по контуру Г, ограничивающему всю поверхность S = S₁ + S₂ , рис.6.11:

Аддитивность циркуляции позволяет ввести понятие удельной циркуляции – отношению циркуляции С к величине поверхности S, “обтекаемой” цикуляцией. При конечных размерах поверхности отношение C/S дает среднее значение циркуляции, т.е. дает свойства поля, усредненные по всей поверхности S. Чтобы получить локальную характеристику поля, т.е. в данной точке Р, нужно уменьшать размеры S, стягивая ее в точку Р. При этом отношение C/S стремится к некоторому пределу, характеризующему поле в точке Р.

Возьмем воображаемый контур Г, лежащий в плоскости, в которой находится точка Р. Возьмем отношение

Эта величина будет зависеть и от ориентации контура в векторном поле; для разных направлений в пространстве она будет разной. Ориентация контура задается положительной нормалью (обход по правому винту). Для какого-то направления нормали величина максимальна. Таким образом, она ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Максимальное значение даст модуль этого вектора, а направление положительной нормали, при котором достигается максимум, дает направление вектора. Это называется ротором (вихрем) некоторого вектора, т.е. проекция

Наглядное представление о роторе вектора скорости жидкости можно получить, поместив легкую крыльчатку в поток, рис.6.12. Там, где , крыльчатка вращается, причем, с большей скоростью там, где проекция ротора на ось крыльчатки больше.

Ротор вектора в декартовой системе координат определяется выражением: