8.8. Основные газодинамические функции и их использование при расчётах газовых потоков

Мы выяснили, что скорость истечения газов зависит не только от π_с (p_с, ) и , но и от формы сопла. Форма сопла должна быть не цилиндрической трубой, а специально спрофилированной. В таком сопле при изменении скорости происходит одновременное изменение параметров состояния газа.

Для расчёта изменения параметров газа при его движении в каналах, в том числе и соплах, в газовой динамике широко используются газодинамические функции (приведенные параметры или относительные параметры). Газодинамические функции представляют собой отношения действительных (статических) параметров в любом сечении потока к значению тех же параметров заторможенного потока, в каком либо другом, сравнительном сечении.

Таким образом, значение параметра в сравнительном сечении является как бы мерой, масштабом для значения данного параметра во всех других сечениях.

В расчётной практике сложилась традиция брать в качестве масштабов для одних величин значения параметров торможения, для других – значения критических параметров.

Главную роль при расчётах играют следующие газодинамические функции:

^{– температуры} ; (8.38)

^{– давления} ; (8.39)

^{– плотности} ; (8.40)

^{– плотности тока газа} ; (8.41)

Газодинамическая функция q (λ) имеет важное значение в термодинамике газового потока, так как она характеризует расход газа.

^{– сжимаемости} . (8.42)

Число Маха представляет собой безразмерную (относительную) скорость потока, причём масштабом скорости здесь является местная скорость звука а.

Все газодинамические функции являются безразмерными параметрами потока. Газодинамические функции позволяют значительно облегчить проведение расчётов авиационных ГТД. Значение этих функций обычно представляются в виде таблиц (смотри приложение П.4), где аргументом выступает коэффициент скорости λ или её называют приведённой скоростью.

Коэффициент скорости λ – отношение действительной скорости потока в любом рассматриваемом сечении потока (с_х) к значению критической скорости (с_кр).

(8.43)

или

, (8.43')

где Т^* вычисляется в точке потока к которой относится скорость с.

В формулах (8.43), (8.43') масштабом скорости принимается критическая скорость.

Коэффициент скорости λ имеет вполне конкретные значения. Найдём их. Скорость газа с при его движении по соплу может теоретически изменяться от нуля до с_кр, а потом достигнуть с_max. Критическая скорость с_кр для данного газа при = const является величиной постоянной, следовательно коэффициент скорости λ может принимать значения от λ = 0 до λ = λ_max, так как при значении

с_х = 0, λ = 0;

с_х = с_кр, λ = 1;

с_х = с_max, λ = λ_max.

Определим значения λ_max для воздуха, для которого k = 1,4; R = 287 Дж / (кг ∙ К).

^{. (8.44)}

З ависимости скорости потока от коэффициента скорости и зависимости λ = f (M) показаны соответственно на рис. 8. 9. и рис. 8.10.

Рис. 8.9. График зависимости λ = f (M) для k = 1,4; R = 287 Дж / (кг ∙ К)

Таким образом, коэффициент скорости λ для воздуха может иметь конкретные числовые значения

0 < λ < 2,45.

Рис. 8.10. График зависимости с = f (λ) для k = 1,4; R = 287 Дж / (кг ∙ К)

Поэтому газодинамические функции выражают через коэффициент скорости. Получим формулы для вычисления газодинамических функций

. (8.45)

После преобразования (8.45) получим газодинамическую функцию температуры, где аргументом выступает коэффициент скорости λ, т. е.

. (8.46)

Далее используя адиабатные зависимости между параметрами состояния газа, можно получить газодинамические функции давления и плотности

, (8.47)

. (8.48)

Используя известные формулы, можно выразить через коэффициент скорости и другие газодинамические функции.

Преобразуем (8.41) и получим газодинамическую функцию плотности тока газа

.(8.49)

Величина q (λ) связана с расходом газа следующим образом:

. (8.50)

Газодинамическая функция сжимаемости М однозначно связана с коэффициентом скорости λ. Действительно

(8.51)

или

. (8.52)

Построим график изменения функций τ, π, ε, q в зависимости от λ для воздуха (k =1,4; λ_max = 2,45), используя уравнения (8.46; 8.47; 8.48; 8.49) и подставив в них значения λ = 0; λ = 1; λ = λ_max. В результате получим:

при λ = 0 → τ (λ) = π (λ) = ε (λ) = 1; q (λ) = 0

при λ = 1 → τ (λ) = 0,833; π (λ) = 0,528; ε (λ) = 0,634; q (λ) = 1

при λ = λ_max = 2,45 → τ (λ) = π (λ) = ε (λ) = q (λ) = 0.

Полученные результаты используем для построения графиков газодинамических функций, которые приведены на рис. 8.11.

Этими графиками можно пользоваться только для решения задач, не требующих высокой точности расчёта. Для более точных расчётов следует использовать таблицы газодинамических функций, в которых приводятся значения функций от λ с точностью до 5 – 7-го знака (Приложение П.4).

Рис. 8.11. Графическое изображение газодинамических функций

Таблицы газодинамических функций, заранее рассчитанные и приведённые в виде таблиц, существенно упрощают анализ и расчёт газовых потоков.

Здесь рассмотрены пять наиболее употребительных газодинамических функций. В расчётах иногда используют и другие величины, описание и таблицы которых приведены в приложении П.4.