Решение

С помощью уравнения (7.56) определим величину работы компрессора подводимой к каждому килограмму воздуха

L_К = с_2u ∙ u₂ – с_1u ∙ u₁ = 450 ∙ 480 – 50 ∙ 250 = 203500 Дж/кг.

Уравнение (7.55) позволяет вычислить теоретическую мощность, потребляемую центробежным компрессором.

N_К = G_В ∙ L_К = 10 ∙ 203500 = 2035000 Вт = 2035 кВт.

Проверьте, как Вы усвоили материал

1. Назовите основные допущения, которые принимаются при расчётах газовых потоков.

2. Какое течение газового потока считается стационарным (установившимся)? Приведите примеры.

3. Какими параметрами характеризуется движущийся газ?

4. Дайте определение массовому расходу воздуха.

5. Напишите и сформулируйте уравнение неразрывности для жидкости и газа.

6. Какими видами энергий обладает движущийся газ? Напишите формулы, определяющие величину каждого из этих видов энергии.

7. Напишите уравнение неразрывности в дифференциальной форме.

8. Напишите уравнение первого закона термодинамики для движущегося газа.

9. Как учитывается трение при расчёте элементов ГТД?

10. Напишите и сформулируйте уравнение сохранения энергии: а) в общем виде;

б) для энергоизолированного потока.

11. Напишите и сформулируйте уравнение сохранения энергии для движущегося потока в ТРД (рис. 7.5.): а) по входному устройству; б) по компрессору; в) по камере сгорания; г) по турбине; д) по выходному устройству.

12. Оказывает ли влияние на величину общего запаса энергии движущегося газа работа, затраченная на преодоление трения?

13. Напишите и сформулируйте обобщенное уравнение Бернулли.

14. Напишите и сформулируйте уравнение Бернулли для жидкости и несжимаемого потока газа.

15. В чём состоит различие между уравнением Бернулли и уравнением сохранения энергии?

16. Напишите уравнение Эйлера для поступательного и вращательного движения.

17. Как изменится скорость, статическое и динамическое давление жидкости и несжимаемого газа при изменении площади поперечного сечения потока?

Тема 8. Термодинамика газового потока

Течение газа (воздуха) в элементах летательных аппаратов и силовых установок происходит часто с изменением его скорости, т.е. с разгоном или торможением потока. Основные уравнения газового потока, рассмотренные в предыдущей теме 7, показывают, что изменение скорости газа всегда сопровождается изменением его основных параметров состояния. В общем случае эти изменения могут быть вызваны различными воздействиями, как, например, подводом или отводом тепла и работы, изменением площади проходного сечения канала и др. Анализ влияния этих воздействий на течение газа приводится далее.

8.1. Форма канала, необходимая для разгона и торможения газового потока

Воздействие на газовый поток, связанное с изменением площади поперечного сечения канала F, называют обычно геометрическим воздействием. Рассмотрим, как необходимо изменять форму канала, по которому течёт газ, для того чтобы обеспечить его разгон или торможение за счёт геометрического воздействия. При этом будем считать газ идеальным, а его течение – происходящим без трения и энергообмена с окружающей средой (Q_внеш = L_внеш = L_r = 0). Следовательно, процесс изменения состояния газа при этих условиях будет адиабатным.

Канал, в котором скорость потока газа увеличивается (dc > 0), называется соплом. Как видно из (7.35) и (7.17), при течении газа в сопле происходит снижение его давления (dp < 0), температуры (dT < 0) и плотности. Таким образом, при течении в сопле газ расширяется.

Канал, в котором происходит уменьшение скорости потока газа (dc < 0), называется диффузором. Торможение потока вызывает противоположное изменение параметров газа – возрастают давление (dp > 0), температура (dТ > 0) и плотность газа. При течении в диффузоре газ сжимается.

Получим уравнение профиля струи для энергоизолированного течения без трения.

Поскольку в энергоизолированном течении параметры потока связаны между собой уравнением адиабаты

pυ^k = const,

используем его в дифференциальном виде

υ^k ∙ dp + kυ^k-1 ∙ pdυ = 0

или

υdp + k ∙ pdυ = 0. (8.1)

Выражаем из (8.1) υ·dp и подставляем в уравнение Бернулли [сdc = – υdp (7.36)]. В результате получим:

c·dc = k ∙ pdυ

или

. (8.2)

С учётом уравнения состояния pυ = RT выражение (8.2) можно записать в виде

. (8.3)

Учитывая, что kRT = a², то (8.3) принимает вид:

. (8.4)

Используя уравнение неразрывности (7.7)

.

уравнение (8.4) примет вид:

или

. (8.5)

Выражение определяемое (8.5) и есть уравнение профиля струи для энергоизолированного потока без трения.

Уравнение (8.5) связывает величину dc, определяющую характер изменения скорости потока, с величиной dF, характеризующей изменение площади проходного сечения канала, т.е. его форму.

Рис. 8.1. Формы каналов для разгона потока

Форма сопла (dc > 0). Определим, какую форму может иметь канал, предназначенный для разгона потока. Если скорость потока на входе в сопло меньше скорости звука (М < 1), то величина ( – 1) < 0. Уравнение (8.5) удовлетворяется в этом случае при dF < 0. Таким образом, для разгона дозвукового потока канал должен быть суживающимся (рис. 8.1,а)

Если на входе в сопло скорость потока сверхзвуковая (М > 1), то величина ( – 1) > 0 и по (8.5) видно, что в этом случае должно быть dF > 0. Следовательно, для разгона сверхзвукового потока канал должен быть расширяющимся (рис. 8.1,б). Из (8.5) следует также, что невозможно осуществить разгон потока от дозвуковой к сверхзвуковой скорости только в суживающемся или только в расширяющемся соплах. Для этой цели необходимо применять комбинированное сопло (рис. 8.1,в), состоящее из суживающегося и расширяющегося участков. В суживающейся части такого сопла поток разгоняется до скорости, равной скорости звука (М = 1), а в расширяющейся части происходит увеличение скорости сверхзвукового потока. Минимальное сечение сопла, в котором скорость потока равна местной скорости звука, принято называть критическим сечением. Параметры потока в этом сечении равны критическим параметрам. В технической литературе суживающиеся – расширяющиеся сопла называются часто соплами Лаваля.

Объясним выявленные закономерности изменения формы сопел, предназначенных для разгона потоков с различными скоростями, базируясь на формуле (8.4), которая устанавливает связь относительного изменения объёма газа с относительным изменением скорости при различных числах Маха.

Из (8.4) видно, что при дозвуковых скоростях газа (М < 1) относительное изменение объёма меньше относительного изменения скорости . Следовательно, плотность газа при разгоне дозвукового потока снижается в меньшей степени, чем растет его скорость, что в соответствии с уравнением неразрывности (7.2) требует уменьшения площади проходных сечений вдоль сопла. В потоке, текущем со сверхзвуковой скоростью (М > 1), картина обратная: увеличение скорости сопровождается более интенсивным расширением газа . При таком изменении параметров потока необходимо увеличение площади проходных сечений вдоль сопла.

Заметим, что при малых дозвуковых скоростях потока (М << 1) без заметного ущерба для точности практических расчётов можно пренебречь изменением объёма газа при изменении его скорости, т. е. рассматривать газ как несжимаемую среду.

Форма диффузора (dc < 0). Проведя с помощью формулы (8.5) анализ, аналогичный проведённому выше для сопла, нетрудно установить, что дозвуковой поток (М < 1) тормозится в расширяющемся канале (dF > 0, рис. 8.2,а). Если на входе в диффузор поток сверхзвуковой (М > 1), то для его торможения необходимо применять суживающийся канал (dF < 0, рис. 8.2,б). Снижение скорости потока от сверхзвуковой к дозвуковой возможно в комбинированном (суживающемся – расширяющемся) диффузоре (рис. 8.2,в), называемом иногда обращённым соплом Лаваля. В суживающейся части такого диффузора скорость сверхзвукового потока снижается до скорости, равной скорости звука (М = 1), а в расширяющейся части проходит торможение дозвукового потока. Минимальное сечение диффузора, где М = 1, принято называть критическим сечением или “горлом”. Причина различного характера изменения площади диффузора для торможения дозвукового и сверхзвукового потоков, как и у сопла, заключается в различной интенсивности уменьшения объёма газа при снижении его скорости (8.4) в случае, когда М > 1 или М < 1.

Следует заметить, что реальный процесс торможения воздуха в диффузорах при сверхзвуковых скоростях потока сопровождается появлением скачков уплотнения, в которых происходит ступенчатое изменение скорости и параметров воздуха при частичной диссипации его энергии. Однако качественно характер изменения параметров потока и площади проходных сечений вдоль диффузора в реальном процессе аналогичен таковым при идеальном торможении. Особенности течения воздуха в сверхзвуковых диффузорах детально изучаются в теории авиационных двигателей.

Рис. 8.2. Формы каналов для торможения потоков