7.8. Уравнение Эйлера о моменте количества движения

При изучении вращательных движений газа следует использовать ещё один из законов механики – закон об изменении момента количества движения, который гласит: изменение момента количества движения тела равно моменту импульса равнодействующей всех внешних сил, приложенных к телу. Напомним, что моментом количества движения (М) тела относительно некоторой точки, называется произведение количества движения тела (m·c) на кратчайшее расстояние (r) от точки до линии, по которой направлена скорость тела, то есть M = (m·c·r). Моментом импульса называется произведение величины импульса (PΔτ) на кратчайшее расстояние (r) от точки до линии действия силы, создающий импульс.

Найдём уравнение моментов количества движения для случая, когда телом является газ, движущийся в некотором канале (рис. 7.9.).

Рис. 7.9. К выводу уравнения Эйлера

о моменте количества движения

Как и ранее, будем рассматривать изменение состояния выделенного сечениями 1-1 и 2-2 объёма за малый промежуток времени Δτ, а движение будем считать установившимся. Изменение момента количества движения будет равно разности моментов количества движения объемов 2-2' и 1-1'.

Момент количества движения объёма 1-1' равен , а из (рис. 7.8.) видно, что произведение , есть не что иное, как окружная составляющая скорости с₁:

.

Таким образом, момент количества движения объема 1-1' равен

.

Аналогично этому момент количества движения объема 2-2' равен

.

Разность между этими величинами нужно приравнять моменту импульса равнодействующей

,

где P – равнодействующая внешних сил;

r_о – расстояние от линии действия силы P до оси О.

При установившемся движении массы объёмов 1-1' и 2-2' одинаковы. Учитывая, что – секундный массовый расход и G₁ = G₂ = G = const в соответствии с уравнением неразрывности, а произведение P · r_о даёт момент равнодействующей P относительно точки O: P · r_о = M.

Окончательно уравнение моментов количества движения для потока газа имеет вид:

(7.53)

Уравнение (7.53) называется также уравнением Эйлера для вращательного движения. Оно позволяет вычислить момент сил, действующих со стороны газа на тела, взаимодействующие с потоком газа.

(7.54)

Согласно этому уравнению, при установившемся течении газа и отсутствии массовых сил, сумма моментов внешних сил, действующих на выделенную массу газа со стороны обтекаемых тел и контрольной поверхности относительно произвольной оси, равна разности моментов относительно той же оси окружных составляющих количеств движения секундных масс газа, вытекающих и втекающих через рассматриваемую контрольную поверхность.

Используем уравнение (7.54) для того, чтобы вычислить момент, действующий на колесо газового компрессора. Колесо воздействует на газ в то время, когда газ находится между входным 1 и выходным 2 сечениями (рис. 7.10.).

Рис. 7.10. Схема рабочего колеса центробежного компрессора

К сечению 1-1 газ может подходить с некоторой окружной скоростью, которая сообщается ему во входном направляющем аппарате. Значение этой окружной скорости на среднем радиусе r₁ входного сечения 1-1 обозначим с_1u. Тогда уравнение (7.53) дает значение крутящего момента, необходимого для вращения рабочего колеса. Умножив момент на угловую скорость вращения, можно вычислить теоретическую мощность, необходимую для привода компрессора:

· Вт, (7.55)

где u₁ и u₂ – окружные скорости колеса на радиусах r₁ и r₂. К этой мощности следует ещё добавить мощность, расходуемую на преодоление трения колеса о газ за пределами участка 1-2 и на преодоление трения в подшипниках.

Из уравнений (7.54) и (7.55) легко определяется внешняя механическая работа L_внеш, подводимая к единице массы газа (или отводимая от неё) в рабочем колесе ступени компрессора (турбины), выраженная через параметры газа:

, Дж/кг. (7.56)