7.6.2. Уравнение Бернулли для жидкости и несжимаемого газа

При отсутствии внешней работы (L_внеш = 0) и трения (L_r = 0) для жидкости и несжимаемого газа (ρ = const) уравнение (7.34) имеет вид

^, (7.48)

где p₁, p₂ – действительные (статические) давления в рассматриваемых сечениях;

– динамические давления (скоростные напоры) в соответствующих сечениях потока.

Уравнение (7.48) позволяет сделать вывод, что сумма статического и динамического давлений при течении жидкости и несжимаемого газа без подвода внешней работы и отсутствии трения, остается неизменным.

Сумму статического и динамического давлений называют полным давлением заторможенного потока и обозначают:

. (7.49)

С учётом (7.47) уравнение (7.46) можно записать так:

.

Иначе говоря, при течении энергоизолированного потока жидкости и несжимаемого газа и отсутствии трения, полное давление остаётся неизменным (p* = const). Уравнение Бернулли в форме (7.49) используется для определения скорости жидкости и газа (при М ≤ 0,4…0,6). Статическое давление измеряют трубкой а (рис. 7.7.), в которой измерительная плоскость параллельна вектору скорости. Полное давление измеряют Г-образной трубкой б (рис. 7.7.), в которой измерительная плоскость поставлена перпендикулярно вектору скорости.

Рис. 7.7. Схема датчиков для измерения статического (а) и

полного (б) давлений

7.7. Уравнение Эйлера о количестве движения

Уравнение количества движения в механике получают как следствие второго закона Ньютона.

Если за малый промежуток времени Δτ на тело массой т действует сила P, то тело получит ускорение равное , где с – скорость тела.

Тогда

,

или

. (7.50)

Произведение тс называют количеством движения тела, или импульсом тела, а PΔτ – импульсом силы. Из уравнения (7.50) следует, что изменение количества движения тела равно импульсу силы. Эта известная из физики теорема об изменении количества движения.

П рименим эту теорему к установившемуся течению газа по прямолинейному каналу (рис. 7.8.). Выделим некоторый объём газа контрольной поверхностью, которая состоит из поперечных сечений 1-1 и 2-2 и боковой поверхности, прилегающей к стенкам канала. На выделенный объём газа действуют силы давления, втекающего (в сечении 1-1) и вытекающего (в сечении 2-2) потока, а также силы давления и трения о стороны стенок канала. Сумма импульсов этих сил равна ΣPΔτ.

Рис. 7.8. К выводу уравнения Эйлера о количестве движения

Найдем изменение количества движения массы газа Δ(mc), заключённого в выделенном объёме. За малый промежуток времени Δτ выделенная масса газа переместится из положения 1-2 в положение 1'-2'. При установившемся движении потока количество движения массы газа, заключённого между сечениями 1'-1' и 2-2, не изменится. Следовательно, изменение количества движения всей рассматриваемой массы газа определится изменением количества движения элементарных масс, находящихся в объёмах 1-1' и 2-2', т.е.

.

Умножим и разделим правую часть равенства на Δτ. Получим

.

Учитывая, что – секундный массовый расход и G₁ = G₂ = G = const в соответствии с уравнением неразрывности (7.2), то изменение количества движения определяется по формуле:

.

В соответствии с уравнением (7.50) получим

,

или

. (7.51)

Это уравнение впервые было получено Л. Эйлером в 1755 г. и поэтому носит его имя.

Согласно уравнению Эйлера при установившемся движении газа сумма всех внешних сил, действующих на массу газа, выделенную контрольной поверхностью, равна разности количеств движения секундной массы газа, вытекающей и втекающей через контрольную поверхность. Важность уравнения Эйлера состоит в том, что с его помощью можно определить газодинамические силы, действующие на различные элементы ГТД, не вдаваясь в сущность явлений, происходящих внутри выделенного объёма. Для определения этих сил важно знать лишь данные параметров газа на контрольной поверхности. С помощью уравнения Эйлера можно получить выражение силы тяги реактивного двигателя, сил, действующих на лопатки компрессора и турбины и др.

В заключении отметим лишь, что именно с использованием уравнения (7.51) академиком Б.С. Стечкиным еще в 1929 году была получена формула тяги ВРД, носящая в настоящее время его имя.

Формула для тяги ВРД академика Б.С. Стечкина имеет вид:

, (7.52)

где P – тяга ВРД;

G_В – расход воздуха;

c_c – скорость истечения газов из сопла;

V – скорость летательного аппарата.

Вывод этой формулы будет рассмотрен в теории авиационных двигателей.