7.5.2. Применение уравнения неразрывности к элементам гтд

При установившемся течении рабочего тела (на установившихся режимах работы ГТД) расход в каждом сечении газовоздушного тракта остается неизменным и равен произведению площади этого сечения, средней скорости потока и плотности, то есть:

, (7.33)

где индексы при переменных соответствуют сечениям проточной части двигателя (рис. 7.5.).

7.6. Обобщенное уравнение Бернулли

При расчёте элементов ГТД важно знать энергию газового потока, затраченную на преодоление сил трения, так как она определяет КПД элементов и двигателя в целом. Определить работу трения можно с помощью обобщённого уравнения Бернулли.

Обобщённое уравнение Бернулли получается из совместного решения уравнений сохранения энергии (7.16), и перового закона термодинамики (7.13) вычитая из (7.16) уравнение (7.13), получаем

(7.34)

или

. (7.34')

Эти уравнения показывают, что внешняя работа, подводимая к газу или отводимая от него, затрачивается на совершение политропной работы, изменение кинетической энергии и преодоление гидравлических потерь на рассматриваемом участке проточной части двигателя между сечениями 1-1 и 2-2.

Запишем уравнение (7.34') в дифференциальном виде

dL_внешн. = υ·dp + + dL_r . (7.35)

При течении газа в каналах без подвода внешней работы (L_внешн = 0) и без трения (L_r = 0), то уравнение (7.35) примет вид:

– υ·dp = c·dc. (7.36)

Из последнего выражения следует, что в таком потоке разгон газа (dc > 0) возможен лишь при понижении его давления (dp < 0), а торможение (dc < 0) сопровождается ростом давления (dp > 0). Наличие трения, естественно, сказывается количественно на параметрах потока. Например, при заданном уровне понижения давления наличие трения (L_r > 0) понизит прирост скорости потока, и, наоборот, в случае торможения потока при заданном уровне понижения скорости при наличии трения, давление будет возрастать в меньшей степени, чем без трения.

В уравнение (7.34) входят только механические величины, поэтому его можно рассматривать, как уравнение сохранения энергии в механической форме. Но хотя в обобщённое уравнение Бернулли не входит в явном виде внешнее тепло, оно применимо как для процессов с теплообменом, так и без него. Интенсивность и направление подвода внешнего тепла косвенно учитываются в численных значениях отдельных величин, входящих в уравнение (7.34). Заметим, что поскольку уравнение (7.34) получено из уравнений (7.13) и (7.16), то эти уравнения не могут рассматриваться как независимые, но два любые из них могут приниматься в качестве независимых.

Обобщённое уравнение Бернулли позволяет оценить баланс механических видов энергии при движении газа в любом элементе ГТД.

7.6.1. Рассмотрим примеры записи обобщённого уравнения Бернулли для элементов двигателя (рис. 7.5.).

1. При течении воздуха через входное устройство L_внеш = 0, L_r = L_{r вх.у} , поэтому уравнение Бернулли будет иметь вид

(7.37)

или

, (7.38)

где V – скорость полета; c_в – скорость потока за входным устройством.

Из уравнения (7.38) видно, что изменение кинетической энергии расходуется на совершение политропной работы сжатия и преодоления сил трения. В результате кинетическая энергия потока уменьшается, а давление и температура воздуха увеличиваются.

2. Для компрессора L_внеш = L_к; L_r = L_{r к}, поэтому

, (7.39)

где

. (7.40)

В “p-υ” координатах политропная работа сжатия воздуха в компрессоре L_п.к равна площади в'вкк', рис 7.6,а.

Физический смысл уравнения (7.39) состоит в том, что внешняя работа, сообщаемая воздуху в теплоизолированном компрессоре (Q_к = 0), расходуется на политропное сжатие воздуха, изменение его кинетической энергии и на преодоление гидравлических потерь.

3. Для всего процесса сжатия воздуха в двигателе от сечения Н-Н до сечения К-К (рис. 7.5.) уравнение Бернулли дает

, (7.41)

^{где – суммарная политропная работа сжатия (во входном} устройстве и компрессоре), равная площади Н'К'КНН' (рис. 7.6,г).

4. Для камеры сгорания L_внеш = 0; L_r = L_{r к.с} , поэтому

. (7.42)

Как видно из “p-υ” диаграммы, реальный процесс подвода тепла в камере сгорания сопровождается расширением газа. Работа расширения расходуется на увеличение кинетической энергии (с_Г > с_К) и на преодоление гидравлических потерь (рис. 7.6, в).

5. Для турбины L_внеш = – L_T ; L_r = L_{r Т}, поэтому

, (7.43)

и, следовательно,

, (7.44)

где политропная работа турбины и в “p-υ” координатах равна площади Т'ТГГ' (рис. 7.6,б).

В данном случае располагаемой работой является политропная работа, которую совершает сжатый и нагретый газ при расширении в турбине. Эта работа расходуется на получение полезной работы на валу турбины, приращение кинетической энергии газового потока и преодоление гидравлических потерь в проточной части турбины.

Рис. 7.6. Изображение процессов ГТД в “p–υ” координатах

6. При течении газа через выходное устройство L_внеш = 0; L_r = L_{r вых. у}, поэтому уравнение Бернулли будет иметь вид

^{+ L}_{r вых. у.} (7.45)

так как в выходном устройстве происходит расширение газа, L_{п. вых.у} > 0. Следовательно,

(7.46)

т.е. политропная работа расширения газа расходуется на увеличение кинетической энергии потока и преодоление трения.

7. Для всего процесса расширения газового потока в двигателе от сечения К-К до сечения С-С (рис. 7.5.)

. (7.47)

Здесь L_п.р – суммарная политропная работа расширения в камере сгорания, турбине и реактивном сопле, равная площади Н'К'КГТСН' (рис. 7.6,г).

В заключение отметим, что рассматриваемые уравнения движения используются в предположении, что газ является совершенным, т.е. подчиняется уравнению состояния в виде или p∙υ = R∙T.

Основными параметрами, характеризующими движение газа, являются с, ρ, р, и Т. Для получения замкнутой системы уравнений относительно этих параметров имеются четыре уравнения: уравнение неразрывности, уравнение состояния и любые два из трех указанных энергетических уравнений.

Типы решаемых задач могут быть различными. Если, например, известны параметры газового потока на входе в рассматриваемый элемент двигателя и заданы для этого элемента величины L_внеш , Q_внеш и L_r , то составленная указанным образом система уравнений позволяет определить параметры газа на выходе из этого элемента. Может рассматриваться задача определения по заданным параметрам на входе и выходе величин L_внеш , Q_внеш и L_r и т.п.