7.2. Уравнение неразрывности (расхода)

Это уравнение позволяет рассчитать проточную часть двигателя и связывает параметры и скорость газа (рабочего тела) с площадью поперечного сечения газового потока и определить, таким образом, габариты ГТД.

Р ассмотрим движение газового потока по каналу с непроницаемыми стенками переменного сечения (рис. 7.1.), в котором выделим произвольный участок между сечениями 1-1 и 2-2, перпендикулярными скорости потока.

Рис. 7.1. К выводу уравнения неразрывности (расхода)

Расход газа G кг/с – количество газа, проходящее через данное поперечное сечение канала (струи) в единицу времени, – равен:

G = F·c·ρ, (7.1)

где, F – площадь поперечного сечения канала;

с и ρ – скорость и плотность потока в этом сечении.

Уравнение неразрывности отражает следующую закономерность: при установившемся движении поток газа неразрывен, т.е. расход газа поступающего в рассматриваемый объём, равен расходу газа, выходящего из этого объёма:

G₁ = G₂.

Следовательно, при установившемся течении газа через любое сечение потока в единицу времени проходит одинаковая масса газа, т.е.

G₁ = G₂ = G = const

или

F·c·ρ = const. (7.2)

Уравнение (7.2) для рассматриваемых сечений 1-1 и 2-2 стационарного газового потока примет вид:

F₁·c₁·ρ₁ = F₂·c₂·ρ₂. (7.3)

Полученные уравнения (7.2) и (7.3) и есть уравнения неразрывности стационарного газового потока, устанавливающие связь между площадью поперечного сечения потока канала F, его скоростью c, и плотностью ρ в этом сечении. В этих уравнениях учитывается свойство сжимаемости газа.

В случае движения жидкости или несжимаемого потока газа, для которых ρ₁ = ρ₂ = ρ = const уравнение (7.3) приводится к виду:

F₁·c₁ = F₂·c₂. (7.5)

Из уравнения (7.5) следует, что при установившемся течении жидкости и несжимаемого потока газа скорость потока изменяется обратно пропорционально площади сечения канала.

Выполнив логарифмирование и последующее дифференцирование уравнения (7.2), получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме:

(7.6)

или

. (7.7)

Если стенки канала проницаемые и через них может проникать газ, то условие (7.2) не выполняется. В этом случае уравнение неразрывности в дифференциальной форме имеет вид:

, (7.8)

где dG – изменение расхода газа на элементарной длине канала.

Для произвольного сечения потока, составляющего угол α с направлением нормали к вектору скорости, расход определится так:

, (7.9)

где F_α – площадь сечения, составляющего угол α с направлением нормали к вектору скорости (рис. 7.1.).