7.4. Уравнение сохранения энергии

Чтобы получить уравнение сохранения энергии газового потока необходимо выяснить, какими видами энергии обладает движущийся газ. Каждый килограмм движущегося газа обладает следующими видами энергии:

а) внутренней энергией, равной , Дж/кг;

б) кинетической энергией, равной , Дж/кг;

в) энергией давления (проталкивания) , Дж/кг.

Энергия давления (энергия проталкивания) имеет смысл для открытой термодинамической системы, т.е. для движущегося газа. Она характеризует способность газа перемещаться из области с одним давлением в область с другим давлением.

Энергия давления измеряется работой, совершаемой силами давления газа при его движении.

Чтобы получить формулу для вычисления энергии давления, найдём работу сил давления, которая затрачивается на проталкивание 1 кг газа через сечение 1–1 (рис. 7.3.).

С обеих сторон рассматриваемого сечения на газ действует сила

P₁= p₁·F₁,

где p₁ – давление;

F₁ – площадь поперечного сечения.

Для перемещения газа из сечения 1–1 на расстояние x₁ необходимо преодолеть силу P₁, совершив работу по перемещению массы газа, равную

L = P₁·x₁ = p₁·F₁·x₁,

где произведение F₁·x₁ представляет собой объём 1 кг газа (удельный объём υ) прошедшего через сечение 1–1, тогда

L = p₁·υ₁.

Рис. 7.3. К выводу формулы энергии давления

Величина, равная произведению давления газа на его удельный объём – p·υ представляет собой энергию (работу) проталкивания или энергию давления. Таким образом, каждый килограмм движущегося газа обладает кроме собственной внутренней энергии ещё и переносимой им энергией проталкивания, которую он получает от внешнего источника.

Уравнение сохранения энергии есть частное выражение всеобщего закона сохранения и превращения энергии, записанного применительно к газовому потоку, протекающему через какой–либо из элементов двигателя (рис. 7.4.), в котором в общем случае поток газа может получать или отдавать энергию. Поскольку при установившемся движении газа его расход через сечения 1-1 на входе и 2-2 на выходе одинаков, все входящие в уравнение сохранения энергии члены принято относить к 1 кг газа. Внешняя энергия может сообщаться (отводиться) газу как в форме механической работы L_внеш, так и в форме тепла Q_внеш.

Рис. 7.4. К составлению уравнения сохранения энергии

Согласно закону сохранения энергии полная энергия газового потока на выходе из рассматриваемого элемента 2-2 будет больше (или меньше) полной энергии на входе в него 1-1 на величину сообщённой (отведённой) энергии между рассматриваемыми сечениями.

Так как полная энергия газового потока в каждом сечении равна сумме внутренней энергии, энергии давления и кинетической энергии, согласно сказанному, запишем уравнение сохранения энергии в общем виде

. (7.15)

Уравнение (7.15) для упрощения расчётов приведём к другому виду, заменив сумму внутренней энергии и энергии давления энтальпией.

. (7.16)

Для энергоизолированного газового потока (L_внеш = 0, Q_внеш = 0), уравнение сохранения энергии примет вид:

^. (7.17)

Уравнение (7.17) показывает, что при отсутствии энергообмена полная энергия газового потока в любом сечении элемента двигателя, равная сумме энтальпии и кинетической энергии, сохраняется неизменной.

Важно отметить, что уравнения (7.16), (7.17) не содержат в явном виде гидравлических потерь, учитываемых в виде работы от сил гидравлических сопротивлений L_r. Они имеют совершенно одинаковый вид, как при отсутствии, так и при наличии гидравлических потерь. Силы гидравлического сопротивления (условно называемые также силами трения) возникают из-за наличия трения, вихреобразования и волнового сопротивления. Для рассматриваемой системы они являются внутренними силами, а работа, затрачиваемая на их преодоление, переходит практически полностью в тепло (L_r = Q_r).

Если же часть этого тепла уходит через стенки наружу, оно должно быть учтено в величине Q_внеш. Поэтому наличие гидравлических потерь приводит только к преобразованию одного вида энергии другой и не отражается на общем балансе энергии. Из уравнения (7.16) следует, что если наличие гидравлических потерь приводит к уменьшению кинетической энергии газа в сечении 2-2, то ровно на столько же увеличивается энтальпия газа в этом сечении. Таким образом, уравнения (7.16), (7.17) справедливы для установившегося течения вязкого сжимаемого газа. В каждом конкретном случае могут быть различными только направление внешнего воздействия (подвод или отвод) и вид подводимой или отводимой энергии.

Уравнение (7.16) запишем в другой форме, где слева будет отражено полное количество энергии подводимой к газу, которое складывается из теплоты подведённой к газу (Q_внеш) и работы внешних сил подведённой к газу (-L_внеш), а справа результат изменения энергии газового потока.

. (7.18)

или в дифференциальной форме

. (7.19)

Уравнение сохранения энергии в форме (7.18) можно сформулировать так: внешняя энергия, подведённая к потоку газа в виде тепла и работы, идёт на изменение энтальпии и кинетической энергии газа.

В случае идеального газа

.

Поэтому для идеального газа уравнение (7.18) можно представить в виде

. (7.20)

или в дифференциальной форме

. (7.21)

Таким образом, полученные уравнения неразрывности (расхода) и уравнение сохранения энергии, являются важнейшими уравнениями термодинамики, позволяющие выполнить газодинамический расчёт как элементов ГТД, так и двигателя в целом.