Примеры решения задач

Задача 4.1.

Доказать, что цикл Карно (идеальный тепловой двигатель) имеет наибольший термический КПД по сравнению с любым другим циклом в данном интервале температур.

Решение

Д ля доказательства сравним в “T-s ”диаграмме (рис. 4.13.) цикл Карно (ABCD) с произвольным циклом (abcd), проходящим между теми же температурными границами.

Рис. 4.13. “T-s ” диаграмма цикла Карно

Для цикла Карно имеем:

.

Из рис. 4.13. видно, что q_{2 цк} = пл.eDcf, a q_{1 цк} = пл.eABf. Соответственно для произвольного цикла имеем:

,

где q₂ = пл.eadcf, а q₁ = пл.eabcf.

Сравнивая соответствующие площади, замечаем, что: q_{2 цк} < q₂, a q_{1 цк} > q₁, отсюда получаем неравенство:

.

Следовательно,

η_{t цк} > η_t.

Таким образом, эффективность превращения теплоты в работу (термический КПД) в любом цикле не может быть больше, чем в цикле Карно, осуществляемом в том же интервале температур.

Задача 4.2.

Почему КПД идеального теплового двигателя меньше единицы?

Решение

На этот вопрос дает ответ математическая запись теоремы Карно:

^.

Могло ли быть иначе? Да, если бы существовал только первый закон термодинамики. Тогда можно было бы считать, что q_{2 цк} = 0, и

^.

Сделать q_{2 цк} = 0 нельзя, так как согласно второму закону термодинамики, энтропия рабочего тела в цикле должна остаться неизменной. Именно поэтому рабочее тело должно отдать “холодильнику” такое количество теплоты q_{2 цк}, чтобы уменьшение его энтропии было бы равно её увеличению при изотермическом расширении.

Задача 4.3.

Газ совершающий цикл Карно, за счёт полученного от нагревателя количества теплоты, равного 2,5 кДж, производит работу 500 Дж. Каков КПД этого цикла? Во сколько раз абсолютная температура нагревателя больше абсолютной температуры холодильника?

Решение

Определяем коэффициент полезного действия тепловой машины работающей по циклу Карно, воспользовавшись уравнением (4.4)

^η_{t цк} ^{= 20 %.}

Отношение абсолютной температуры нагревателя T₁ и абсолютной температуры холодильника T₂ определяется выражением (4.7)

.

_{Отсюда имеем:}

Задача 4.4.

Идеальная холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно, отнимает от охлажденного тела количество теплоты, равное 2,8 кДж, и передаёт его более тёплому телу.

Температура охлаждаемого и тёплого тел соответственно равны (–10 °С) и 17 °С. Определите КПД цикла, количество теплоты, переданное тёплому телу за один цикл, и холодильный коэффициент машины.

Решение

Коэффициент полезного действия цикла:

= ^η_{t цк} ^{= 9,3 %.}

Так как:

, то

из равенства

можно определить количество теплоты q_{1 цк} переданное нагревателю за один цикл:

Теперь определяется холодильный коэффициент машины по уравнению (4.9)

^{, где L}_ц ^{= q}_{1 цк} ^{– q}_{2 цк} ^{= 3100 – 2800 = 300 Дж.}

Таким образом, окончательно получаем, что

^.

Задача 4.5. (решите самостоятельно)

Тепловую машину, работающую по циклу Карно с КПД равным 20 %, используют при тех же условиях как холодильную машину. Найдите её холодильный коэффициент.

Ответ: ε = 4

Задача 4.6. (решите самостоятельно)

Температура нагревателя идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, равна 227 °С, температура холодильника 127 °С. Во сколько раз надо увеличить температуру нагревателя, чтобы КПД машины увеличился в 3 раза?

Ответ: В два раза

Задача 4.7. (решите самостоятельно)

Газ совершает цикл Карно, 75 % от количества теплоты, полученного от нагревателя, отдаёт холодильнику. Температура холодильника 273 К. Чему равна температура нагревателя?

Ответ: 364 К