2.6. Теплоёмкость газа. Уравнение Майера. Показатель адиабаты

Теплоёмкость характеризует одно из свойств, какого–либо рабочего тела и, как известно, представляет собой количество подводимой или отводимой теплоты соответственно при нагреве или охлаждении рабочего тела на 1 Кельвин. При данных исходных параметрах состояния (Т, р или Т) теплоемкость 1 кг рабочего тела определяется в бесконечно малом интервале температур dT

C = lim , Дж/(кг·К). (2.20)

Эта теплоёмкость, в основном применяемая при расчётах, является удельной массовой, которую для краткости будем называть просто теплоёмко­стью (заметим, что существуют и другие удельные теплоёмкости – единицы объёма или одного моля, но они используются редко).

Теплоёмкость зависит от трех основных факторов. Прежде всего, от природы вещества. Газ, жидкость, твёрдое тело естественно имеют своё определённое и конкретное значение теплоёмкости, характерное только данному веществу. Например, теплоёмкость воды в 4 раза больше, чем теплоёмкость воздуха, теплоёмкость водорода в 14,5 раз больше, чем теплоёмкость воздуха и в 3,5 раза больше, чем теплоёмкость воды и т.д.

Второй фактор – это исходные параметры состояния, при которых теплоёмкость определяется. Для газов (рабочих тел ГТД и ДВС) теплоёмкость зависит практически только от температуры С = f (T). Заметим, что у идеальных газов теплоёмкость от температуры не зависит. Но у рабочих тел ГТД и ДВС, хотя и близких к идеальным газам, влияние температуры все, же заметно. Так, в характерных для ГТД диапазонах изменения температуры воздуха от ~ 250 до 800 К и продуктов сгорания от 700 до 1 600 К теплоёмкости возрастают соответственно примерно на 10 % и на 15 %. Условие С = const принимают лишь при весьма приближённых расчётах. Поэтому будет учиты­ваться зависимость от температуры и теплоёмкости и также других, связанных с ней и рассматриваемых ниже параметров. Но влияние давления и удельного объёма при не очень высоких давлениях до ~ (70·10⁵…100·10⁵ Па) ничтожно мало.

С учётом зависимости “С” от Т конечное количество теплоты Q подводимой к единице массы рабочего тела при его нагреве (или отводимой при охлаждении) в конечном интервале температур Т, определяется из уравнения (2.20)

Q_1-2 = = C_cр·(T₂ – T₁), (2.21)

где индексами 1 и 2 обозначены начальное и конечное состояние рабочего тела; С_ср – среднее значение теплоемкости в интервале температур Т₁…Т₂.

С достаточной точностью (хотя и приближённо) С_ср может быть определена как среднее арифметическое теплоёмкостей (иногда их называют истинными в отличие от средней) при температурах Т₁ и Т₂.

C_cp = 0,5·[C (T₁) + C (T₂)] (2.22)

Значение С = С (Т) приводятся в справочниках в виде таблиц или графиков.

Третий фактор, влияющий на теплоёмкость, относится к сжимаемым рабочим телам – газам. Рассмотрим, в чем проявляется влияние этого фактора.

П редположим, что имеется жёсткая закрытая термодинамическая система неизменного объёма, приведённая на рис. 2.6., а в виде цилиндра, закрытого неподвижным поршнем. В цилиндре содержится 1 кг рабочего тела. Поэтому не изменяется так же удельный объём , но давление изменяется, например, при подводе теплоты возрастает.

Рис. 2.6. К определению теплоёмкости рабочего тела

при υ = const (a), p = const (б)

Таким образом, осуществляется только один вид энергообмена – теплообмен. Истинная теплоёмкость при постоянном объёме определяется уравнением (2.20), в котором для данного случая соответствующие величины снабжены индексом υ

С _υ = (2.23)

Сохраняются и уравнения (2.21) и (2.22) также с индексами υ т.е. q_υ1-2 и C_{υ ср}.

Теперь, пусть система на рис. 2.4,б оставаясь закрытой, станет нежёсткой – поршень в цилиндре может свободно перемещаться в обе стороны. Тогда, например, при подводе теплоты (dq > 0) и нагреве рабочего тела давление остается постоянным, но газ расширяется, и его удельный объём возрастет на величину dυ = F·dx, где F – площадь поршня. Осуществляются оба вида энергообмена – теплообмен и работа изменения объёма, определяемая уравнением (2.14) при бесконечно малом перемещении поршня и (2.15) при конечном перемещении, причем при р = const L_υ = р·(υ₂ – υ₁).

В результате подводимая к термодинамической системе теплота затрачивается и на нагрев газа и на работу термодинамической системы над окружающей средой (при отводе теплоты все описанные явления происходят в обратном направлении также при р = const). Обозначим бесконечно малую теплоту, отводимую термодинамической системе в процессе р = const с индексом р, dq_р . По аналогии с уравнением (2.23) истинная теплоёмкость при постоянном давле­нии равна

С_р = . (2.24)

Поскольку dq_p > dq_υ из–за наличия работ изменения объёма dL_υ , то С_р > C_υ. В уравнениях (2.21) и (2.22) соответствующие величины также снабжаются индексом р т.е. q_p1-2 и C_{p cp}.

При теплообмене параметры состояния газа р и υ по-разному изменяются в жёсткой и нежёсткой термодинамических системах, соответственно υ = const, р = var и р = const, υ = var. Но на количество поглощаемой непосредственно только газом теплоты (или отводимой от газа) это не влияет, поскольку, как отмечалось ранее, теплоёмкость газов практически не зависит от параметров состояния р и υ, а только от температуры Т. Поэтому в жёсткой (υ = const) и нежёсткой (р = const) термодинамических системах при одинаковых изменениях, температуры в данном случае бесконечно малых dT газ поглощает (или отдает) одинаковое количество теплоты dq_υ. С учётом уравнения (2.14) количество теплоты, подводимой к нежёсткой термодинамической системе (а не только) определяется суммой

dq_p = dq_υ + p·dυ. (2.25)

Продифференцируем уравнение состояния (1.11)

d(pυ) = υ·dp + p·dυ = R·dT . (2.26)

В данном частном случае для системы р = const это уравнение упрощается, т.к. dp = 0, поэтому имеем:

p·dυ = R·dT . (2.26′)

Используя полученное уравнение (2.26′), а так же уравнения (2.23) и (2.24) из уравнения (2.25) получим

C_p = C_υ + R или С_р – C_υ = R. (2.27)

Это уравнение, связывающее С_р , C_υ и R называются уравнением Майера. Приведем порядок величин, входящих в это уравнение, например, для воздуха при стандартной температуре 288 К (15 °С): С_р = 1005 Дж/(кг·К), C_υ = 718 Дж/(кг·К), R = 287 Дж/(кг·К). Теплоёмкости С_р и C_υ зависят от температуры, а их разность численно равная значению газовой постоянной R от температуры не зависит. В этом и состоит физический смысл газовой постоянной R, которая численно равна величине работы, совершенной газом массой в 1 кг при изменении температуры в 1 К при постоянном давлении.

В термодинамике и при термодинамических расчетах ГТД и ДВС широко используется отношение теплоёмкостей

^, (2.28)

которое называется показанием адиабаты. Сущность этого термина выяснится из дальнейшего изложения, хотя, казалось бы, что С_р и C_υ никакого отношения к адиабатной системе не имеют.

Показатель адиабаты, как и теплоёмкости, зависит от вида газа и от температуры. Поскольку с ростом температуры обе теплоёмкости С_р и C_υ возрастают, то зависимость “k” от температуры получается довольно слабой, причём убывающей по Т. Например, для воздуха при Т = 288 К показатель адиабаты k = 1,401, а при Т = 800 К (527 °С) – k = 1,353; для продуктов сгорания при Т = 700 К (427 °С) – k = 1,350, а при Т = 1 500 К (1 227 °С) – k = 1,295. В приближённых расчётах обычно принимают: для воздуха k = 1,4, для продуктов сгорания k = 1,33.

Из уравнений (2.27) и (2.28) получаются следующие соотношения, которые часто используются при расчётах.

С_р = ·R (2.29)

С_υ = ·R (2.30)