1.3. Скорость звука

Рассмотрим распространение малых возмущений в элементарной струйке тока, первоначально возникших в сечении 1-1. За время dt область возмущенных параметров распространится по течению до сечения 2-2. При этом можно полагать, что за счет скорости течения область возмущенных параметров займет объем между сечениями 1-1 и 3-3. а за счет скорости () звука займет объем между сечениями 3-3 и 2-2. Предположим, что имели место возмущения скорости, давления и плотности на величины dc, dP и d соответственно.

Рис. 2 Схема распространения малых возмущений

В элементарной трубке тока

При этом имело место приращение массы газа в объеме между сечениями 1-1 и 2-2: dm = ( + c+ dc)dF ddt

Это приращение было обусловлено разностью расходов газа через сечения 1-1 и 2-2:

dm = dG dt = dF (c + dc) (+ d)dt – [ dF + d (dF) ]c dt

В последнем выражении:

dF – площадь элементарной струйки тока в сечении 1 – 1;

dF + d(dF) – площадь элементарной струйки тока в сечении 2 – 2.

В соответствии с законом сохранения массы:

dF ( + c + dc)dt d = dF (c + dc) (+ d) dt – [dF + d(dF)]c dt

Сохраняя в последнем уравнении члены одного порядка, решим его относительно скорости звука:

(14)

Заменим в уравнении (14) приращение скорости через приращение давления. Для этого применим к массе жидкости, заключенной между сечениями 3–3 и 2–2 закон сохранения импульса.

Объем жидкости: dF  dt

Масса жидкости: dF  dt (+ d)

Приращение количества движения массы: dF  dt (+ d) dc

Импульс внешних сил, приложенных к массе:

dF (P + dP) dt – [dF + d(dF)] P dt

В соответствии с законом сохранения импульса:

dF  dt (+ d) dc = dF (P + dP) dt – [dF + d(dF)] P dt

С

(15)

охраняя в последнем уравнении члены одного порядка, решим его относительно приращения скорости:

З

(16)

аписывая формулу (14) с использованием формулы (15), получим формулу для скорости звука:

В связи с изоэнтропичностью процесса изменения параметров состояния в идеальной жидкости при распространении в ней малых возмущений запишем соответствующую производную в формуле (16) через параметры состояния:

П

(17)

оэтому,

Таким образом, скорость звука пропорциональна корню из температуры, что соответствует представлениям о молекулярно- кинетическом cтроении газов. Согласно этим представлениям мера хаотического теплового движения молекул есть температура газа. Скорость движения молекул, посредством которой передаются любые малые возмущения, пропорциональна корню из температуры.

С

(18)

учетом формулы (17) для скорости звука уравнения движения (10) для сжимаемой жидкости можно записать следующим образом:

В формуле (18) * - скорость звука по параметрам торможения (скорость звука в сечении торможения).

Из формулы (18) следует, что местная скорость звука переменна по сечениям элементарной струйки тока: чем выше абсолютная местная скорость течения, тем меньше соответствующая местная скорость звука.

М аксимальная абсолютная скорость течения Сmаx имеет место в сечении, где местная скорость звука равна нулю. При этом абсолютное значение максимальной скорости равно

Всю область течения можно разделить на две части: дозвуковую, где c < α и сверхзвуковую, где c > . Для характеристики скорости течения по отношению к скорости звука вводится число Маха:

M = c/

При этом число Маха не пропорционально абсолютной скорости, поскольку скорость звука убывает по мере роста абсолютной скорости течения. Поэтому при увеличении абсолютной скорости от 0 до максимальной скорости число Маха возрастает от 0 до бесконечности. При этом всегда в элементарной струйке тока существует сечение, в котором местная скорость течения равна местной скорости звука. Это сечение называется критическим, соответствующая скорость – критической, а любые параметры в сечении критическими параметрами.

Таким образом, по определению, в критическом сечении:

с =  = _кр

Здесь _кр – критическая скорость.

И

(19)

з уравнения (18) вычисляется критическая скорость по температуре торможения.

П оэтому для характеристики скорости потока по отношению к критической скорости удобно использовать приведенную скорость:

Поскольку критическая скорость постоянна для энергоизолированных течений, то приведенная скорость всегда пропорциональна абсолютной скорости. При этом дозвуковая область течения также характеризуется неравенством  < 1, а сверхзвуковая неравенством >1. В критическом сечении по определению:

M =  = 1.

В сечении, где достигается максимальная абсолютная скорость течения, приведенная скорость очевидно равна

(20)

Таким образом, приведенная скорость изменяется в диапазоне

С вязь между числом Маха и приведенной скоростью определяется из уравнения (18) с учетом того, что

Т

(21)

аким образом

Р

(22)

азделив обе части уравнения (21) на квадрат скорости течения, получаем связь между числом Маха и приведенной скоростью.

(23)