7.2. Уравнение движения.

У

(139)

равнение движения есть применение второго закона Ньютона к движению сплошной среды. Интегральное уравнение движения для жидкого объёма получается в результате гидродинамического обобщения второго закона Ньютона о движении материальной точки:

В уравнении [139] dV-объём элементарной жидкой частицы, R_∑ -равнодействующая сил, действующих на элементарную жидкую частицу dV. Для всего жидкого объёма это уравнение запишется как интеграл по объёму:

Таким образом, согласно интегральному уравнению движения производная по времени суммарного количества движения жидкого объёма равна сумме всех внешних сил, действующих на этот объём. При этом поверхностная сила, с которой жидкость действует на обтекаемые ею тела [в пределах рассматриваемого объёма], называется силой реакции жидкости. В свою очередь внешние силы складываются из массовых сил и поверхностных [нормальных и касательных]. Так что вектор суммарных сил является суммой:

Здесь: j - напряжение массовых сил,  - напряжение нормальных поверхностных сил,  - напряжение касательных поверхностных сил, R - сила реакции жидкости [согласно третьему закону Ньютона со стороны жидкости, окружающей объём, на него действует сила равная силе реакции, но направленная в противоположную сторону].

Рис.20.Перемещение жидкого объёма в пространстве.

Поскольку для контрольного объёма количество движения зависит от времени и от ориентации объёма в пространстве, то полную производную количества движения целесообразно представить в виде суммы соответствующих составляющих. Пусть (рис.20) в момент времени t жидкий объём занимает контрольный объём V_t и имеет количество движения K_t, а в момент времени t + t, жидкий объём занял положение контрольного объёма V_t+t (при этом величина объёма V_t+t вообще говоря не равна величине объёма V_t) и стал обладать количеством движения K_t+t. При этом имеется общая часть объёма V₀ (при выборе достаточно малого временного интервала t), количество движения в котором изменяется во времени, но не зависит от перемещения жидкости в пространстве. В то же время части объёмов V₁ (принадлежащая объёму V_t ) и V₂ (принадлежащая объёму V_t+t ) отличаются тем, что эти объёмы образуются исключительно в связи с движением жидкости в пространстве. Очевидны следующие соотношения: K_t = K_V0 + K_V1; K_t+t = K_V0t + K_V2.

K_V0 - количество движения объёма V₀ в момент времени t, K_V0t - количество движения объёма V₀ в момент времени t + t. K_V1 - количество движения объёма V₁ в момент времени t. K_V2 - количество движения объёма V₂ в момент времени t + t.

П роизводная от количества движения по определению является пределом, т.е. в данном случае:

П оскольку при t  0 общий объём стремится к контрольному объёму V_t, то первый предел является частной производной суммарного количества движения в контрольном [постоянном] объёме по времени, т.е.

Поверхности объёмов V₁ и V₂ полностью включают в себя внешние поверхности рассматриваемого жидкого объёма, через которые происходит обмен количеством движения. Так как при t  0 оба объёма стремятся к нулю, то изменение количества движения в этих объёмах равно тому, которое обусловлено притоком и оттоком жидкости через их внешние границы. Таким образом:

Cn - нормальная составляющая скорости к элементарной площадке dS. В итоге:

(141)

Интегральное уравнение движения [141]известно в литературе как первая теорема Эйлера: равнодействующая внешних сил, действующих в данный момент на жидкость в контрольном объёме, равна изменению во времени суммарного количества движения жидкости в этом объёме плюс разность потоков количества движения жидкости на выходе из контрольного объёма и входе в него.

П отоком количества движения называется величина

причём количество движения, вытекающее из объёма, считается положительным, а количество движения, втекающее в объём - отрицательным.

П ри установившемся течении по определению такого течения

п оэтому:

При рассмотрении установившегося движения в элементарной струйке тока следует учесть, что приток количества движения возможен только через сечения струйки тока, любые параметры в которых постоянны.

П оэтому:

Здесь рассматривается проекция потока количества движения на направление течения в элементарной струйке тока.

В результате G ( u₂ – u₁) = R_x (142)

Здесь индексами 1 и 2 обозначены сечения 1 и 2, а индексом x - проекция равнодействующей сил на направление движения в элементарной струйке тока.

Интегральное уравнение движения для жидкого объёма можно переписать в виде уравнения моментов количества движения. Это уравнение, известное как второе уравнение Эйлера, не является новым независимым уравнением гидрогазодинамики, а представляет собой новую форму уравнения движения, членами которого являются не силы и не количества движения, а моменты сил и моменты количества движения.

Уравнение моментов количества движения для жидкого объёма, так же, как и для твёрдого тела, устанавливает, что момент равнодействующей внешних сил относительно произвольной оси равен полной производной по времени от суммарного момента количества движения относительно той же оси. Поэтому уравнение моментов количества движения получается из интегрального уравнения движения путём его векторного умножения на радиус-вектор.

(143)

Уравнение моментов количества движения можно применять в проекции на любое направление. В частности в проекции на направление движения в элементарной струйке тока следует учесть, что параметры течения в сечении струйки тока постоянны. При установившемся течении в элементарной струйке тока:

(144)

G(C_2u r₂ – C_1u r₁) = R_u r = M_Z

В уравнении [144] индексами 1 и 2 обозначены сечения 1 и 2, индексом u -проекция параметра на направление движения в струйке тока.

В частности, если момент внешних сил относительно данной оси отсутствует, то жидкость в элементарной струйке тока вращается по инерции, т.е. момент количества движения сохраняется постоянным, чему соответствует распределение окружных составляющих скорости по закону свободного вихря. Иными словами, окружные составляющие скорости распределены обратно пропорционально радиусу, т.е. по закону постоянной циркуляции C_u r = Const