Глава 4. Движение вязкой жидкости вблизи твердой поверхности.

4.1. Пограничный слой.

Граничным условием для движения вязкой жидкости на твердой поверхности является нулевая скорость (отсутствие движения) на твердой поверхности. Это условие известно в литературе как «условие прилипания», суть которого сводится к тому, что молекулы жидкости, непосредственно прилегающие к твердой поверхности, в результате взаимодействия с твердой поверхностью притягиваются молекулярной структурой твердого тела к поверхности и остаются неподвижными относительно этой поверхности (проскальзывание молекул по поверхности твердого тела наблюдается только лишь при движении очень разреженных газов).

В силу граничного условия движение вязкой жидкости вблизи твердой поверхности всегда характеризуется наличием поперечного сдвига скорости, т.е. скорость движения жидкости монотонно возрастает по мере удаления от твердой поверхности. При этом скорость течения нарастает наиболее интенсивно вблизи твердой поверхности, поэтому целесообразно выделить зону движения вязкой жидкости вблизи твердой стенки, где поперечные градиенты скорости велики, от остальной области течения, где эти градиенты сравнительно малы (соответственно пренебрежимо малы и силы трения).

Необходимо выяснить условия, при которых возможно выделение зоны течения вблизи твердой поверхности (так называемый пограничный слой). Смысл выделения пограничного слоя состоит в том, что только в его пределах рассматривается движение сугубо вязкой жидкости, а вне его пределов проявлением вязкости пренебрегают в связи с тем, что силы трения на несколько порядков меньше других сил, действующих в жидкости.

Предполагается, что толщина пограничного слоя  намного меньше длины обтекаемой твердой поверхности L, т.е. << L. Такое предположение логично, т.к. в противном случае пограничный слой занимает всю область течения.

Анализ движения вязкой жидкости внутри пограничного слоя и вне его следует проводить на основе дифференциальных уравнений движения и неразрывности (вывод которых приведен ниже). С целью упрощения выкладок целесообразно рассмотреть так называемый одномерный пограничный слой, развивающийся на слабо искривленной поверхности в отсутствии массовых сил при установившемся течении. Для простоты также предполагается, что жидкость несжимаема.

Тогда уравнение движения вязкой жидкости в проекции на направление касательной к поверхности в данной точке поверхности имеет вид:

(116)

В уравнении (116) u - проекция на касательную к поверхности;

v- проекция скорости на нормаль к поверхности;

x - продольная координата (направлена по касательной к поверхности в сторону движения жидкости);

y – поперечная координата (направлена по нормали к поверхности);

 – динамическая вязкость жидкости;

 - плотность жидкости;

Р – давление в жидкости.

С вязь между проекциями скорости u и v следует установить из дифференциального уравнения неразрывности:

Р ассматривая производные в уравнении неразрывности как конечные разности, следует записать:

В еличина x изменяется в пределах от 0 до L, т.е. имеет порядок L. Величина y изменяется от 0 до , т.е. имеет порядок . Величина u изменяется от 0 до скорости внешнего потока u_, т.е. имеет порядок u_. Поэтому поперечная скорость связана с продольной соотношением.

Далее все производные в уравнении (116) записываются как конечные разности ,что и позволяет оценить порядок членов с учетом связи продольной скорости с поперечной. Так порядок первого члена u_²/ L. Порядок второго u_²/ L. Порядок третьего члена определится из условия несжимаемости:

P = P* - P = c² / 2 = u² / 2 = u_² / 2

Таким образом порядок третьего члена также u_² / L. Порядок четвертого члена составляет величину (/ u_ /L², а пятого – (/ u_ /². Поэтому четвертым членом в уравнении можно пренебречь, однако пятый член должен быть соизмерим с первыми тремя по порядку величины, т.е.