Лёгкой идеальной жидкости в элементарной струйке тока.

Пусть в сечении 1-1 площадью dF имеют место параметры Р, Т, , c.

В течении отрезка времени dt частицы жидкости переместятся в сечение 2-2 площадью dF+d(dF), где параметры потока также изменяются на дифференциально малую величину P+dp, T+dT, +d, c+dc.

При этом за время dt через сечение 1-1 протекает масса жидкости cdFdt, импульс которой (количество движения) увеличивается на величину cdFdtdc, равную импульсу внешних сил (в данном случае сил давления). Этот импульс составляет с учетом знака и сохранением величин одного порядка - dPdFdt. В соответствии со вторым законом Ньютона:

c dF dt dc = - dP dF dt

В результате получаем дифференциальное уравнение движения.

dP = - c dc (3)

Это уравнение устанавливает связь между давлением и скоростью в движущемся потоке. Ввиду наличия знака минус в правой части уравнения (3) эта связь отрицательна, т.е. увеличение скорости течения всегда связано с понижением давления и наоборот.

1.2. Интегрирование уравнения движения.

Проинтегрируем уравнение (3). При этом следует выделить 2 случая:

1. Ж идкость несжимаема, т.е. = consrt. Тогда интеграл уравнения (3) имеет вид:

Постоянная интегрирования определится из граничных условий, в качестве которых целесообразно принять состояние потока в сечении, где скорость равна нулю. Это сечение называется сечением полного торможения, а все параметры в этом сечении – параметрами торможения. Следует иметь ввиду, что в силу идеальности жидкости процесс торможения соответствует изоэнтропическому процессу. Поэтому, когда речь идет о давлении полного торможения в любых других задачах имеется ввиду, что в реальном или мысленном процессах давление возрастает по изоэнтропическому закону.

В дальнейшем параметры в сечении торможения обозначаются * индексом. Соответствующий интеграл записывается в виде:

(4)

У

(5)

равнение (4) может быть решено относительно скорости:

К ак видно из формулы (5) для вычисления скорости потока необходимо знать полное давление P* и давление в движущемся потоке (статическое давление) P. Эти давления измеряются специальными приборами: пневмометрическими или иными.

2

(6)

. Жидкость сжимаема. В этом случае для разделения переменных в уравнении (3) необходимо задать зависимость плотности от давления. Для изоэнтропических процессов эта зависимость имеет вид:

Здесь k – показатель изоэнтропы.

Из уравнения (6)

dP = k ^{k – 1} const d

При этом исходное уравнение (3) принимает вид:

k^{k – 1} const d = - c dc (7)

или

k^{k – 2} const d = - c dc (8)

Интеграл уравнения (8) имеет вид:

(9)

П

(10)

остоянная в правой части уравнения (9) является постоянной интегрирования в отличие от постоянной термодинамического процесса в левой части. Замена постоянной процесса в левой части уравнения и выбор граничного условия в сечении торможения приводят к уравнению:

Как видно из формулы (10) для вычисления скорости сжимаемого потока недостаточно знать только полное и статическое давление. Кроме этих величин необходима температура торможения.

С

(11)

учетом уравнения состояние формула (10) может быть записана в виде:

В

(12)

совершенном газе теплоемкость при постоянном давлении есть k*R/(k –1), а произведение теплоемкости на температуру есть энтальпия. Таким образом формула (11) может быть записана в виде:

В формуле (12) i – энтальпия.

Согласно формуле (12) при движении идеального газа в условиях энергетической изолированности имеет место обратимый переход механической энергии в тепловую и наоборот. Таким образом, интеграл уравнения движения (3) в данном случае одновременно являются уравнением энергии, что обусловлено крайней простотой рассматриваемого случая течения: одномерное движение идеального совершенного газа в условиях энергетической изолированности.

Из условия энергетической изолированности следует, что

i* = const

T* = const

Из условия идеальности термодинамического процесса следует:

P* = const

При изменении скорости воздушного потока меняется поперечное сечение элементарной струйки тока. Это следует из условия сохранения постоянным массового расхода. Массовый расход – это количество жидкости протекающее через поперечное сечение канала в единицу времени. Согласно определению массовый расход выражается через параметры движущейся жидкости следующим образом:

G = c F (13)

В формуле (13) G - массовый расход,

F - поперечное сечение канала.

Для установления зависимости между формой струйки тока и величиной скорости необходимо установить: от чего зависит скорость распространения малых возмущений в сплошной среде (скорость звука).