7.6. Дифференциальное уравнение энергии.

Д ифференциальным уравнением энергии для элементарного жидкого объема является уравнение первого закона термодинамики.

Правую часть уравнения целесообразно записать в виде, не содержащем внутренней энергии,

и

(152)

ли:

В уравнении (152) dq/dt - производная внешнего теплового потока,

dq_тр/ dt - производная внутреннего теплового потока, обусловленного работой против сил трения.

В еличина внешнего теплового потока определится согласно закону Фурье в предположении, что жидкая частица получает тепло только за счет теплопроводности (рис.26). Действительно, приток тепла в направлении оси Х составляет величину.

Рис.26.Составляющие внешних тепловых потоков для жидкого объема.

Аналогично:

С уммарный поток тепла в жидкий объем составит:

Удельный тепловой поток в жидкий объем составит:

П ри постоянной теплопроводности:

Величина внутреннего теплового потока, эквивалентного теплоте трения, определится из работы напряжений на всех гранях выделенного объема. Так на гранях, перпендикулярных оси Х, работа напряжений определится следующим образом ( рис.27 ).

Рис.27.Соствляющие напряжений и скоростей на гранях жидкого элемента, перпендикулярных оси Х.

А налогично:

Суммарная удельная работа вязких напряжений

Суммарная удельная мощность вязких напряжений

(153)

Первые три члена последнего уравнения соответствуют работе, которая не преобразуется в тепло трения, а идет на изменение кинетической энергии элемента. В самом деле, из уравнений движения в напряжениях в проекции на ось Х при отсутствии массовых сил в предположении _x = _x’ (т.е. при нулевом статическом давлении) следует:

Правая часть последнего уравнения совпадает с первым членом правой части уравнения для мощности вязких напряжений.

А налогично:

Т аким образом, сумма первых трех членов в уравнении мощности вязких напряжений дает сумму проекций изменения кинетической энергии жидкого объема. Это означает, что передача импульса направленного движения в вязкой жидкости от одной частицы к другой происходит посредством вязкостного сцепления жидких частиц. Однако при этом энергия частично дссипирует в тепло трения. Эту часть мощности вязкостных сил и выражают последние три члена уравнения (153). Таким образом:

П ри этом:

Поэтому:

В последнем уравнении символом Ф обозначена диссипативная функция

Д ля несжимаемой жидкости div C = 0, поэтому

В

(154)

результате дифференциальное уравнение энергии примет вид:

Дифференциальные уравнения неразрывности, движения и энергии наряду с уравнением состояния газа образуют замкнутую систему уравнений, в которой 6 неизвестных (3 компоненты скорости и параметры состояния) равны числу независимых уравнений. Такая система математически всегда разрешима относительно неизвестных, хотя в общем случае движения жидкости математические трудности непреодолимы.