3.1. Описание турбулентных течений путем использования осредненных во времени величин

При турбулентном режиме течения мгновенная скорость в каждой точке пространства изменяется не периодически и вообще не подчиняются какой – либо закономерности. Однако для практических расчетов нет необходимости в определении мгновенных значений параметров потока в точке. Во многих случаях можно воспользоваться осреднёнными во времени характеристиками течения.

П

(80)

араметры турбулентного потока движущейся жидкости можно разложить на осреднённые по времени величины и пульсации этих величин, а из нестационарного режима искусственно выделить главный – стационарный. Например, истинная мгновенная скорость может быть представлена в виде суммы осредненной и пульсационной скорости. В трехмерной системе координат скорость имеет 3 составляющие u,v, wпо осям координат X, Y, Z соответственно. Поэтому:

В уравнении (80) индекс ’ – означает пульсацию, а индекс ¯ – осреднение. Следует отметить, что так же, как и компоненты скорости, любой параметр (например давление) течения может быть представлен в виде (80). При этом осреднение соответствующих величин производится за достаточно большой отрезок времени, так что характерное время любой пульсации пренебрежимо мало по сравнению со временем осреднения. Если при изменении промежутка времени осреднения величины осредненных скоростей (или других параметров) не меняются, то течение является квазистационарным.

О бщепринято различать изотропную и анизотропную турбулентность. Турбулентность называется изотропной если в рассматриваемой точке выполняется равенство:

Предполагается, что кинетическая энергия составляющих пульсационного движения пропорциональна осредненным величинам квадратов пульсации скорости. Таким образом, изотропная турбулентность предполагает равенство кинетической энергии пульсационного движения по всем направлениям.

Турбулентность называется однородной и изотропной, если условие изотропности соблюдается во всех точках турбулентного потока.

Если условия изотропности не выполняется, то турбулентность называют анизотропной. Если степень анизотропии неодинакова в различных точках, то говорят о неоднородной турбулентности.

Степень турбулизации течения определяется интенсивностью турбулентности

(81)

Составляющие пульсаций определяются из соотношения :

(82)

В турбулентном потоке действуют и ламинарный, и турбулентный механизмы трения, поэтому общая динамическая вязкость зависит от интенсивности турбулентности. Если обозначить дополнительное касательное напряжение в турбулентном потоке _T, а обычное ламинарное сдвиговое напряжение _Л, то полное сдвиговое напряжение определится их суммой.

(83)

В уравнении (83)  - обычная динамическая вязкость в смысле Ньютона.

Из двух составляющих напряжения вблизи твердой стенки преобладает ламинарное, а в турбулентном ядре – турбулентное.

3.2. Гипотеза турбулентности л. Прандтля. Понятие о длине пути перемешивания. Логарифмический профиль осредненной скорости.

Несмотря на длительные исследования турбулентных течений механизм турбулентности до сих пор неизвестен. В этой связи существует достаточно много гипотез турбулентности. в той или иной мере объясняющих различные стороны турбулентного движения. В практических расчетах часто используется гипотеза турбулентности Л. Прандтля – одна из наиболее простых в расчетном отношении. Представляет принципиальный интерес ход рассуждений, на которых основывается эта гипотеза.

Рис. 6. К теории турбулентности Л. Прандтля

При одномерном турбулентном течении с поперечным градиентом скорости вдоль некоторой оси ОХ (рис.6) вследствие пульсаций скорости частицы жидкости, находящиеся выше и ниже некоторой поверхности раздела ММ, перемещаются в поперечном направлении на некоторое малое расстояние l. При этом они обмениваются импульсом с теми частицами, которые замещают, что равносильно действию некоторой добавочной силы трения между слоями жидкости. Для расчета этой добавочной силы трения необходимо выделить в турбулентном потоке элементарную площадку dF, перпендикулярную оси ОY.

Элементарная масса жидкости, перетекающая в единицу времени из нижнего слоя в верхний или наоборот вдоль оси ОY через площадку dF очевидно равна:

dm =  v’dF.

Произведение элементарной массы на продольную составляющую пульсацию скорости u’ дает приращение количества движения в соответствующем месте замещения жидкой частицы: в соответствии со вторым законом Ньютона наличие приращения количества движения возможно только в результате импульса силы, действующей вдоль оси ОХ. При этом, частицы жидкости, переместившиеся в данный слой из нижерасположенного, обладает как правило меньшей продольной скоростью, что уменьшает количество движения в данном слое и соответствует подтормаживающему влиянию на него со скоростью нижерасположенного. Наоборот, частицы жидкости, переместившиеся в данный слой из вышерасположенного, обладают как правило большой продольной скоростью, что увеличивает количество движения в данном слое и соответствует ускоряющему влиянию со стороны вышерасположенного. Таким образом, дополнительная сила трения, вызванная турбулентным характером течения, как и обычно, направлена в сторону противоположную движению.

О

(84)

чевидно сдвиговое напряжение, вызванное пульсационным движением жидкости, т.е. дополнительное турбулентное напряжение трения, равно частному от деления переносимого количества движения на величину площади

В формуле (84) учтено, что под напряжением трения понимается положительная величина, т.е. модуль, а положительная поперечная пульсация образована перемещением жидких частиц, обладающих меньшими продольными скоростями, в слои жидкости, движущиеся с относительно большими скоростями (средними). Таким образом, положительная поперечная пульсация связана с отрицательной продольной пульсацией в месте замещения жидкого элемента. Поэтому произведение v’ u’ как правило отрицательно. Добавление отрицательного знака в формулу (84) делает ее применимой в общепринятом смысле.

Л. Прандтль предположил, что турбулентные пульсации скорости пропорциональны расстоянию переноса импульса l (на котором жидкая частица сохраняет все свои свойства, однако за пределами этого расстояния перестает существовать, поскольку растворилась в окружающей среде данного слоя) и градиенту осредненной скорости. Таким образом, согласно гипотезе Л. Прандтля:

Согласно предположению Л. Прандтля турбулентное напряжение пропорционально расстоянию переноса импульса и градиенту осредненной скорости согласно формуле (84):

(85)

Вблизи твердой стенки интенсивность пульсационного движения ограничена условием непроницаемости, поэтому величина l и турбулентные напряжения уменьшаются с уменьшением расстояния от стенки. Исходя из указанного заключения Л. Пандтль также предположил, что величина l пропорциональна расстоянию от стенки. В виде уравнения это выглядит следующим образом:

l = y (86)

В уравнении (86)  – некоторая универсальная константа турбулентности, подлежащая определению опытным путем. Экспериментальные данные дают для  величину порядка 0,4.

По смыслу l - есть расстояние, на которое жидкие частицы перемещаются как единое целое с сохранением всех своих свойств, за пределами которого, однако, перестают существовать, т.е. перемешиваются с окружающей средой. Поэтому величина l - называется длиной пути перемешивания.

Суть второго предположения в гипотезе Л. Прандтля состоит в том, что длина пути перемешивания увеличивается по мере удаления от стенки. Это предположение логично и обосновано для так называемой пристенной турбулентности. В той части потока, которая достаточно удалена от твердой стенки, условие непроницаемости твердой стенки не должно оказывать заметного влияния на турбулентность. Соответственно на достаточно больших расстояниях от стенки не выполняется уравнение (86), что и подтверждается опытными данными.

Тем не менее, приняв за основу гипотезу турбулентности Л. Прандтля и полагая, что напряжение трения не зависит от расстояния y (что безусловно неверно) можно проинтегрировать уравнение (85) (пренебрегая изменением плотности), т.е. для несжимаемой жидкости).

(87)

В уравнении (87) постоянная интегрирования должна определяться из граничного условия на стыке ламинарного подслоя с турбулентным потоком.

Необходимо отметить, что на основе гипотезы Л. Прандтля сразу же получается логарифмический профиль для осредненной скорости согласно уравнению (87), который по условиям своего вывода имеет универсальный характер для всех пристенных течений. Это хорошо подтверждается опытными данными, несмотря на очевидные слабости гипотезы и неверность предложения о постоянстве напряжения трения.

Итак, в турбулентном течении сдвиговое напряжение по существу является суммой напряжения обусловленного молекулярно – кинетическим поперечным переносом импульса, и турбулентного напряжения, обусловленного пульсационным переносом импульса.

(87)

В формуле (87) длина пути перемешивания зависит от расстояния y.

В случае ламинарного течения отсутствует пульсационное движение и соответственно l = 0. При этом формула (87) переходит в формулу Ньютона.