Глава 7. Основные уравнения в механике жидкости и газа.

Дифференциальные уравнения, описывающие фундаментальные физические процессы в точке, позволяют корректно сформулировать конкретные задачи в механике жидкости и газа, в том числе и общую постановку задачи в механике жидкости и газа. Однако далеко не всегда возможно решить поставленную задачу, несмотря на актуальность последней. Интегральные уравнения баланса массы, импульса и энергии не оперируют с особенностями физической стороны процессов, однако позволяют довести решение поставленных задач до конца, если это оказывается возможным в смысле вычисления конкретных интегральных величин. Поэтому для исследовательских и практических целей наряду с дифференциальными уравнениями применяются интегральные уравнения сохранения.

7.1. Уравнение неразрывности.

Уравнение неразрывности [сплошности] выражает закон сохранения массы. Для жидкого объёма этот закон означает неизменность его массы во времени. Для контрольного объёма с замкнутой поверхностью S [для постоянного объёма, зафиксированного в пространстве] закон сохранения массы означает, что разность между массой жидкости, вытекающей из объёма и втекающей в него, равна изменению массы жидкости в объёме.

Очевидно, через всю поверхность S за время dt утечка жидкости составит величину:

З десь n - вектор нормали к элементу поверхности dS.

У течка жидкости из контрольного объёма может компенсироваться только изменением плотности в нём. Это изменение плотности в любой точке объёма можно записать в виде:

В о всём объёме изменение массы есть:

Т аким образом:

C

(134)

огласно теореме Остроградского -Гаусса интеграл по поверхности можно заменить интегралом по объёму.

У

(135)

равнение неразрывности [134] является интегральным. Дифференцирование уравнения [134] позволяет получить дифференциальное уравнение неразрывности:

и

(136)

ли

В уравнении [136] u, v, w проекции скорости на оси Х, У, Z соответственно декартовой системы координат.

В свою очередь, например:

поэтому справедлива следующая форма записи дифференциального уравнения неразрывности

(137)

и

(138)

ли

В уравнениях [137], [138] d/ dt - полная производная плотности, т.е.:

В зависимости от особенностей движения жидкости дифференциальному уравнению неразрывности можно придать ту или иную форму.

Т ак в несжимаемой жидкости  = const, поэтому: div c = 0 или

П ри установившемся течении любой жидкости (в том числе сжимаемой), по определению ∂/ ∂t = 0, поэтому: div (c) = 0, или

С огласно интегральному уравнению неразрывности расходы жидкости, вытекающей из контрольного объёма и, втекающей в него, равны. Следовательно, при установившемся течении в канале расход жидкости через любое поперечное сечение одинаков, поэтому с использованием понятия среднерасходной скорости с справедливо равенство: сF = Const

Для элементарной же струйки тока скорость постоянна по всему сечению по определению, поэтому: сF = Const

В случае движения несжимаемой жидкости:с F = Const