Глава 10. Основы теории подобия

Поскольку математические трудности, возникающие при интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих движение сплошной среды, непреодолимы, то практически различные аэродинамические характеристики определяются опытным путем на основе испытания моделей в лабораторных условиях. Иногда проводится анализ какого-либо явления на моделях другой физической природы. Во всех модельных исследованиях необходимо соблюдать такие условия испытаний, которые обеспечивают надежность получаемых результатов и позволяют распространить эти результаты на натурные объекты.

Процесс изучения объекта или физического явления при помощи модели или другого явления называется моделированием. Различают два вида моделирования: физическое и математическое. Если физика явлений в исследуемом объекте и его модели одинакова и если процессы, протекающие в модели и объекте, описываются одинаковыми математическими и логическими зависимостями, то такое моделирование называется физическим. Основное достоинство физического моделирования состоит в возможности непосредственного наблюдения характера протекающих физических процессов.

Если объект исследования и его модель имеют различную физическую природу, но описываются математически идентичными зависимостями, то такое моделирование называется математическим.

Физическое моделирование в аэромеханике базируется на понятии о физическом подобии. Два явления называются физически подобными, если для них можно установить соответственные точки пространства и соответственные моменты времени так, чтобы в этих точках пространства в эти моменты времени все физические параметры характерные для данных явлений, были пропорциональны. Таким образом, под физическим подобием понимается комплекс условий обеспечивающих одновременно геометрическое, кинематическое и динамическое подобие.

Геометрическое подобие является подобием формы. Тела и системы называются геометрически подобными, если отношения их сходственных линейных размеров одинаковы.

Кинематическое подобие является подобием движения. Движения кинематические подобны, если при соблюдении геометрического подобия во всех сходственных движущихся и обтекаемых телах в сходственные моменты времени векторы скоростей имеют одинаковые направления, а отношения модулей скоростей постоянны. В частности, кинематически подобные потоки с подобными граничными условиями имеют линии тока одинаковой формы.

Динамическое подобие является подобием сил. Две системы динамически подобны, если при выполнении геометрического подобия в сходственных точках систем в сходственные моменты времени действуют силы одной и той же природы, причём отношения между всеми одноимёнными силами во всех сходственных точках одинаковы, а движения систем подчиняются одинаковым дифференциальным уравнениям, начальным и граничным условиям.

Таким образом, понятие о подобии позволяет сформулировать условия модельных испытаний и установить приёмы переноса результатов лабораторных исследований на натурные объекты.

Подобие называется полным, если во всём пространстве, окружающем натурный объект и соответствующую модель, подобие картин движения соблюдается полностью. Если не все физические величины, характеризующие движение модели и натурного объекта, находятся в определённом постоянном отношении, то подобие называется неполным или частичным. Подавляющее большинство экспериментальных исследований проводится в условиях частичного подобия.

Теория подобия позволяет на основе анализа дифференциальных уравнений, описывающих какие-либо процессы, получить критерии подобия и дать их анализ. Однако не всегда имеются уравнения, описывающие исследуемый процесс. В этом случае необходимые критерии подобия можно получить из анализа размерностей. Метод анализа размерностей базируется на теореме, согласно которой число безразмерных критериев подобия, полностью описывающих какой -либо физический процесс, равно разности между числом независимых параметров, полностью описывающих данный процесс, и числом основных единиц измерения

Основной задачей моделирования является обеспечение подобия явлений. Сущность моделирования заключается в том, что на модели меньшего (или большего) масштаба создаётся определённое аэромеханическое явление, подобное тому, которое должно возникнуть в натуре. При этом основным достоинством метода моделирования является возможность обобщения результатов единичного эксперимента на целый класс явлений одного физического происхождения. Метод моделирования при уменьшении масштаба натурного объекта обеспечивает значительное сокращение объёма экспериментальных работ, средств и времени. Основной задачей моделирования является определение наиболее важных из действующих в рассматриваемом явлении сил и выбор соответствующих критериев частичного подобия сил.

Критерии газодинамического подобия могут быть получены непосредственно на основе уравнений движения Навье Стокса, Действительно, в случае плоского обтекания двух геометрически подобных тел дифференциальные уравнения движения в проекции на ось Х имеет вид.

В случае геометрического, кинематического и динамического подобия течений размеры обтекаемых тел, поля скоростей и сил взаимно пропорциональны. Пусть масштабы основных единиц измерения длины, времени и массы есть:

L = l/l’ ; T = t/t’ ; M = m/m’

М асштабы всех других физических величин, входящих в уравнение движения выражаются через основные масштабы:

Записанные соотношения между параметрами течения являются следствием пропорциональности линейных размеров, времен и масс подобных потоков.

С учетом соотношений между параметрами течения следует записать второе уравнение движения через единицы измерения первого потока.

Поскольку рассматриваемые потоки динамически подобны, то они удовлетворяют одним и тем же дифференциальным уравнениям. Отсюда следует, что форма записи уравнений движения для обоих потоков должна быть идентична, т.е. комплексные множители перед членами последнего уравнения одинаковы.

L/K_c² = T/ K_c = 1/ K_g =L_/_p = L² / K_γ K_c

Отсюда вытекают четыре самостоятельных условия.

K_cT/L = 1 ; _K_c²/ K_p = 1 ; LK_c/_γ= 1 ; L K_g/ K_c² = 1 (169)

С учетом соотношений между параметрами течения из (169) вытекают следующие критерии подобия.

ct/l = c't'/l' = Sh (170)

c²/P = 'c'²/P' = Eu = kM² (171)

cl/v = c'l'/v = Re (172)

lX/c² = l'X'/c'² = Fr (173)

У равнение (170) устанавливает равенство чисел Струхаля Sh в двух динамически подобных потоках. Число Струхаля является единственным из критериев подобия, куда входят сходственные отрезки времени t и t'. Оно получилось как следствие подобия членов, содержащих локальное ускорение

в уравнениях движения. Локальное ускорение характеризует только неустановившееся движение газа. следовательно, равенство критериев Струхаля является условием подобия для неустановившихся течений.

В уравнении (173) под X и X' понимаются силы массового происхождения, приложенные к единице массы движущейся жидкости, поэтому целесообразно заменить эти силы ускорениями соответствующих гравитационных полей.

lg/c² = l'g'/c'² = Fr

При движении в поле сил земного тяготения всегда g = g', поэтому:

l/c² = l'/c'² = Fr

В газовых потоках влияние массовых сил пренебрежимо мало, поэтому критерий Фруда Fr при моделировании не принимается во внимание.

Уравнение (171) выражает связь между статическими давлениями и скоростными напорами в сходственных точках подобных потоков. Эта связь путём замены плотности и давления через скорость звука приводит к условию равенства комплексов к M². Таким образом, число Маха, характеризующее свойства сжимаемости, является критерием подобия. Показатель изоэнтропы К является характеристикой теплофизических свойств газа. Для одного и того же газа условие равенства критериев Эйлера Eu запишется в виде равенства чисел Маха.

Для обеспечения динамического подобия потоков разных газов равенства критериев Маха недостаточно. Кроме этого требуется равенство показателей изоэнторпы. Следовательно величина показателя изоэнтропы является самостоятельным критерием подобия.

Уравнение (172) устанавливает равенство чисел Рейнольда в двух динамически подобных потоках. Критерий Рейнольда выражает соотношение между силами вязкости и давления в потоке. Действительно, в динамически подобных потоках отношение сил трения равно отношению сил давления:

/' = (du/dy)/('du'/du') = k_k _v k_c/ k_l =  v cl'/' v 'c'l

P/P' = c²/' c'² = k_k_c² = c²/' c'²

/' = P/P'; /P = ' /P'; lc/ v = c'l'/ v '; Re = Re'.

Вообще, число критериев подобия зависит от числа физических факторов, принимаемых во внимание при анализе движения жидкости. Так, при моделировании турбулентных течений необходимо учитывать интенсивность турбулентных пульсаций и их линейный масштаб. Из анализа дифференциального уравнения энергии вытекает также ряд самостоятельных критериев, учитывающих теплообмен.

Таким образом, в общем случае турбулентного течения вязкой, сжимаемой жидкости при наличии теплообмена с окружающей средой для выполнения физического подобия потоков необходимо равенство вообще говоря всех критериев подобия, которых может быть достаточно много (16 критериев).

Обеспечить равенство всех критериев подобия возможно только в натурном эксперименте, для которого характерны высокие затраты ресурсов и времени. Однако в некоторых случаях в этом нет необходимости и обычно реализуется частичное подобие по одному или нескольким наиболее важным критериям. Дело в том, что не все критерии имеют одинаковое физическое значение для изучаемых явлений. В зависимости от конкретной задачи один или несколько критериев могут иметь преобладающее значение, в то время как другая группа критериев не оказывает заметного влияния на характер течения. Например, в установившихся потоках равенство критериев Струхаля всегда выполняется. Кроме того, результаты экспериментов по приближённому моделированию можно скорректировать на критерии, по которым не было выдержано подобие, если известны значения этих критериев в опыте и зависимость изучаемых характеристик от этих критериев.

Влияние каждого из критериев подобия на характеристики изучаемых объектов различно в зависимости от численного значения рассматриваемого критерия. Например, влияние сжимаемости при малых числах Маха M < 0,3 очень мало ( плотность изменяется менее, чем на 3% ). Аналогично, при очень больших числах Рейнольда характеристики объектов уже не зависят от его величины. Явление уменьшения влияния какого - либо критерия подобия в области его определения практически до нуля называется автомодельностью.

В аэродинамике и газовой динамике обычно приходится иметь дело с установившимися адиабатическими течениями газа. Причём режим течения является турбулентным при естественной турбулентности. Поэтому аэромеханические характеристики обтекаемых тел и каналов зависят в основном от двух критериев подобия :числа Маха и числа Рейнольда. При исследованиях необходимо осуществлять принципы раздельного моделирования, т.е. обеспечивать возможность независимого изменения каждого из критериев при постоянном значении другого.