3.3. Гидравлическое сопротивление круглых труб.

Рассматривается установившееся осесимметричное течение жидкости в круглой цилиндрической трубе диаметром D. При втекании жидкости в трубу с равномерной скоростью действие граничного условия на твердой стенке для вязкой жидкости проявится в нарастании на стенке трубы подторможенных слоев жидкости до полного их смыкания в центре трубы. При течении несжимаемой жидкости плотность ее постоянна. При дозвуковом течении сжимаемой жидкости воздействие трения согласно (74) приводит к ускорению потока и уменьшению плотности. В обоих случаях уменьшение скорости в близи стенки, вызванное трением, приводит к увеличению скорости в ядре потока, т.к. средняя скорость либо неизменна, либо увеличивается в случае сжимаемой жидкости. Эта область течения называется начальным участком.

На некотором расстоянии от входа в трубу деформация профиля скорости прекращается, что и является началом отсчета основного участка течения. На основном участке течения имеет место равномерное падение статического давления по длине трубы, причем темп падения давления непосредственно связан с величиной внутреннего трения в жидкости. Действительно, из условия равновесия элемента жидкости в виде цилиндра радиусом r и длиной dx (рис.7.) следует, что перепад давления на торцах цилиндра уравновешен трением со стороны внешних по отношению к цилиндру слоев жидкости:

– 2 r dx – dP r² = 0 (88)

Из уравнения (88) следует:

(89)

С огласно уравнению (89) напряжение трения распределено по радиусу трубы линейно. Дело в том, что темп падения статического давления на основном участке постоянен, т.е. dP/dx = const.

Рис. 7. К анализу условия равновесия элемента жидкости при наличии вязкости

В гидравлических расчетах принято снижение давления выражать в долях от динамического напора, т.е.:

(90)

В формуле (90)  - коэффициент путевых потерь;

c – среднерасходная скорость;

D - внутренний диаметр трубы :  = const.

Из уравнения (89) с учетом (90) следует:

(91)

В частности, напряжение трения максимально на стенке трубы, т.е. при условии r = D/2:

(92)

При ламинарном режиме течения закон сопротивления (выражение для коэффициента путевых потерь) определится из закона вязкого трения. Действительно:

(93)

З нак минус в левой части уравнения (93) соответствует положительным значениям напряжения трения, поскольку производная скорости по радиусу в направлении от центра трубы всегда отрицательна.

Разделение переменных в (93) приводит к уравнению:

И нтеграл этого уравнения имеет вид:

Постоянная интегрирования определится из граничного условия на твердой стенке, т.е. на внутренней поверхности трубы.

Таким образом, профиль скорости при ламинарном режиме течения параболический

(94)

Максимальная скорость течения наблюдается в центре трубы (r = 0)

(95)

С реднерасходная скорость определяется интегрированием по площади с учетом уравнения (94):

(96)

И з уравнения (96) видно, что среднерасходная скорость в два раза меньше максимальной. Из уравнения же (96) следует закон сопротивления гладких труб при ламинарном режиме течения

Уравнение (97) хорошо подтверждается опытными данными.

При турбулентном режиме течения вязкость жидкости зависит от расстояния до твердой стенки, поэтому профиль скорости и закон сопротивления целесообразно получить из опытных данных.

Н а основном участке трубы профиль скорости хорошо описывается степенным законом на большей части радиуса.

Величина показателя степени n меняется от 6 до 10 в зависимости от числа Рейнольдса. Обычно полагают n = 7. Тогда

(98)

(99)

Таким образом, при турбулентном режиме течения вследствие большей полноты профиля (из–за более интенсивного поперечного переноса импульса, чем при ламинарном режиме), средняя скорость отличается от максимальной в меньшей мере, нежели при ламинарном режиме течения.

Опытные данные по гидравлическому сопротивлению пластин позволяют получить зависимость для местного напряжения трения на стенке в виде:

(100)

В уравнении (100) , где - толщина пограничного слоя.

На основном участке = R. Поэтому

С учетом последней зависимости можно записать:

С учетом уравнения (99) последняя зависимость может быть записана так:

С огласно уравнению (92):

Поэтому _T = 0,306/Re ^0,25 (101)

Полученная формула почти совпадает с опытной зависимостью Блазиуса для гладких труб:  _T = 0,316/Re ^0,25 (102)

Из сравнения коэффициентов путевых режимов при ламинарном и турбулентном режимов течения видно, что при равных числах Рейнольдса последние значительно выше при турбулентном режиме течения. Это объясняется интенсивным механизмом поперечного обмена импульсом между скользящими слоями, в котором обмен на молекулярно –кинетическом уровне (единственно возможный для ламинарного режима) играет второстепенную роль.

На начальном участке течения в трубах коэффициенты путевых потерь выше, чем на основном, поскольку при прочих равных условиях поперечные градиенты скорости там выше. В расчетах это учитывается введением соответствующего поправочного коэффициента k, величина которого определяется по справочным данным в зависимости от числа Рейнольдса и доли длины начального участка во всей длине канала:

_нач = k  (103)

Длина начального участка в свою очередь зависит от числа Рейнольдса. Согласно опытным данным. l _нач = 0,029ReD (104)

Гидравлическое сопротивление шероховатых труб зависит от величины шероховатости. Причем следует учитывать, что дополнительное сопротивление, вносимое элементами шероховатости, связано с сугубо турбулентным характером обтекания этих элементов. как препятствий. При ламинарном характере обтекания этих элементов не возникает дополнительного сопротивления, поскольку не изменяется при этом поперечный градиент скорости.

Как уже указывалось, граничное условие на твердой стенке препятствует турбулентному движению.Поэтому непосредственно вблизи твердой стенки характер течения жидкости ламинарный при сколь угодно развитом турбулентном характере течения на остальной части сечения канала. Эта пристеночная зона течения называется ламинарным подслоем. Выше ламинарного подслоя располагается переходная зона течения. а далее собственно турбулентный поток.

М ожно предположить, что критическое число Рейнольдса, составленное по толщине ламинарного подслоя и величине местной скорости на расстоянии от стенки, равной толщине ламинарного подслоя, постоянно (как в случае характеристики перехода режима течения для трубы в целом). В этом случае по мере увеличения числа Рейнольдса за счет увеличения скорости при неизменном диаметре толщина ламинарного подслоя будет непрерывно уменьшаться. Это означает, что однородная по высоте шероховатость вызывает увеличение гидравлического сопротивления только начиная с некоторого значения числа Рейнольдса, когда высота элементов шероховатости превысит толщину ламинарного подслоя.

Рис. 8. Влияние шероховатости на коэффициент путевых потерь.

По мере увеличения числа Рейнольдса процесс роста коэффициента путевых потерь будет усиливаться (в то время как в гладких трубах коэффициент путевых потерь уменьшается с увеличением числа Рейнольдса), но до известного предела. Этот предел обусловлен конечной высотой элементов шероховатости. Поэтому, когда большая часть высоты элементов шероховатости окажется за пределами ламинарного подслоя, дальнейший рост коэффициента путевых потерь замедлится, а затем и вовсе прекратится.

Результаты опытного исследования влияния искусственной шероховатости на величину коэффициента путевых потерь (рис.8) подтверждают изложенное.

На рисунке 8 представлены результаты исследований. соответствующие влиянию равномерной по высоте и плотности искусственной шероховатости.

Реальная шероховатость представлена элементами различной высоты и плотности. Поэтому проявляется влияние шероховатости на величину коэффициента потерь при любых числах Рейнольдса, т. к среди всего состава элементов шероховатости всегда найдется часть элементов, высоты которых превышают толщину ламинарного подслоя при данном числе Рейнольдса. В расчетах гидравлического сопротивления шероховатых труб пользуются понятием эквивалентной шероховатости. Под эквивалентной шероховатостью понимается условная высота элементов шероховатости. которая вызывает такое же увеличение гидравлического сопротивления, как и данная реальная шероховатость. Одна из расчетных формул при этом следующая:

(106)

В формуле (105) _э - эквивалентная шероховатость, определяется по справочным данным.

П ри энергоизолированном движении сжимаемой вязкой жидкости в круглой трубе имеет место увеличение скорости газового потока согласно уравнению (74). При этом снижаются плотность и температура. Однако число Рейнольдса возрастает и соответственно снижается коэффициент путевых потерь. Поэтому, строго говоря, в уравнении (77) приведенная длина  не пропорциональна физической длине Х в связи с тем, что величина коэффициента пропорциональности в формуле  = bc² /2 есть b = /4

В формуле для приведенной длины поэтому имеется коэффициент путевых потерь. = x2k/(k+1)

Величина коэффициента путевых потерь несколько уменьшается с увеличением физической длины, как уже указывалось (поэтому интегрирование уравнения (75) в предположении b = /4 = const неверно). Однако зависимость (x) в численном выражении незначительна, поэтому в расчетах ею обычно пренебрегают.