Раздел II: Линейные метрические пространства и функционалы

55

I. Для любых двух элементов x; y 2 L определен элемент z 2

L, называемый их суммой и обозначаемый x + y, причем

1)x + y = y + x (коммутативность);

2)x + (y + z) = (x + y) + z (ассоциативность);

3)в L существует такой элемент 0, что x + 0 = x для всех x 2 L (существование нуля);

4)для каждого x 2 L существует такой элемент x, что x + ( x) = 0 (существование противоположного элемента).

II. Для любого скаляра 2 K и любого элемента x 2 L определен элемент z 2 L, называемый произведением элемента x на скаляр и обозначаемый x, причем

1)( x) = ( )x ;

2)1 x = x, где 1 – единица в поле K;

3)( + )x = x + x;

4)(x + y) = x + y.

Мы будем использовать в качестве поля K поля комплексных и действительных чисел.

Пример 2.1.1. Пространство R, т.е. совокупность всех действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения суть линейное пространство над полем R.

Пример 2.1.2. Пространство Rn, т.е. совокупность всевозможных наборов n действительных чисел с обычными операциями сложения векторов и умножения их на действительное число суть линейное пространство над полем R.

Пример 2.1.3. Пространство Cn, т.е. совокупность всевозможных наборов n комплексных чисел с обычными операциями сложе-

56

ния векторов и умножения их на комплексное число суть линейное пространство над полем C.

Пример 2.1.4. Непрерывные вещественные (комплексные) функции с обычными операциями сложения функций и умножения их на вещественное (комплексное) число суть линейное пространство над полем R (C).

Пример 2.1.5. Пространство lp, т.е. совокупность всевозможных последовательностей (x1; : : : ; xn; : : : ) действительных чисел, удо-

влетворяющих условию Pn jxjjp < 1, с обычными операциями

j=1

сложения последовательностей и умножения их на действительное число суть линейное пространство над полем R.

элементами можно установить взаимно однозначное соответствие

: L1 ! L2; согласованное с операциями сложения векторов и умножения на скаляр в этих пространствах. Это означает, что

(x + y) = (x) + (y), ( x) = (x) для всех x; y 2 L1 и

всех 2 K.

Пример 2.1.6. Пространство Rn изоморфно линейному пространству всех многочленов степени (n 1) над полем R.

Напомним несколько полезных определений из курса линейной алгебры.

Определение 2.1.3. Элементы x1; : : : ; xn линейного пространства L называются линейно зависимыми, если существуют такие

57

числа 1; : : : ; n, не все равные нулю, что

n

X

jxj = 0:

j=1

В противном случае эти элементы называются линейно независимыми. Бесконечная система элементов x1; : : : ; xn; : : : называется

линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима.

Определение 2.1.4. Если в пространстве L можно найти n

линейно независимых векторов, а любые (n + 1) элементов линейно зависимы, то говорят, что пространство имеет размерность n

(dim L = n). Если же в L можно указать систему, состоящую из произвольного числа линейно независимых элементов, то говорят, что пространство L бесконечномерно.

Определение 2.1.5. Базисом в n-мерном пространстве называется любая система, состоящая из n линейно независимых векторов.

Конечномерным пространствам было уделено много внимания в курсе линейной алгебры. Мы будем заниматься, как правило, бесконечномерными пространствами. Наличие базиса позволит нам использовать уже знакомый из курсов линейной алгебры и аналитической геометрии метод координат.

Пример 2.1.7. Из курса линейной алгебры нам известно, что dim Rn = n. В качестве базиса в этом пространстве можно взять систему fejgnj=1, где j-тая компонента вектора ej равна единице, а все остальные равны нулю.